Apollonius DCC

Construction des cercles tangents à deux cercles et une droite donnés.
Les points bleus déplaçables modifient la droite et les cercles.
Le rayon de C' est imposé < rayon de C.

Le cercle (C') est augmenté/diminué du rayon R de (C)
La droite (d) est décalée de ± R perpendiculairement à elle même. Les 2 cercles et les deux droites ainsi obtenues donnent des cas PDC
Attention toutefois, pour chacune des 4 combinaisons de droite/cercles, il n'y a que deux solutions à retenir de la construction PDC : celles qui sont compatibles avec le sens d'augmentation/diminution du rayon du cercle cherché.
Les cercles tangents extérieurement à (C) et contenant (C') (magenta) en augmentant leur rayon de R, passent par C et deviennent tangents à une droite (d') plus éloignée de R, et à un cercle (C") de rayon R'+R.
La perpendiculaire à (d) coupe le cercle (C") en D et E, E étant le plus éloigné, et la droite (d') en F.
Construire le cercle circonscrit à CEF.
La droite CD recoupe ce cercle en P et la droite (d') en M.
Construire la tangente MT au cercle (CEF).
Recopier MB = MB' = MT sur la droite (d').
Les perpendiculaires en B et B' à (d') et la médiatrice de CP se coupent en O et O' centres des cercles cherché.
Le deuxième jeu de solutions de ce problème PDC (en échangeant D et E) ne convient pas car il faut garder ici les seules solutions du problème PDC qui contiennent (C") (Il faut échanger le role de D et E si R' > R).

La même construction est répétée pour les autres cas de cercles cherchés.
- extérieurs à C et C' : droite éloignée et cercle C' de rayon diminué
- extérieurs à C' et contenant C : droite rapprochée et C' de rayon diminué
- contenant C et C' : droite rapprochée et C' de rayon augmenté.

La construction devient imprécise si une tangente commune aux cercles est parallèle à (d), une solution dégénérant alors en cette tangente commune.
Dans l'applet ci-dessus, ceci est déja le cas quand le rayon d'un des cercles solution est très grand.
La construction échoue si la droite est perpendiculaire à la ligne des centres : les cercles circonscrits aux CEF dégénèrent en la ligne des centres elle-même.

Droite perpendiculaire à la ligne des centres

Adaptant la construction PDC dans ce cas :
P est défini comme DP.DC = DE.DF, ce qui se construit par Thalès.
Le cercle passant par C et P et tangent à (d') se construit alors par des méthodes élémentaires.
Le rayon de C' est imposé > rayon de C.

La construction est là aussi répétée pour les 4 cas de décalage de ±R
Et là aussi, pour chaque construction PDC, seules deux solutions sont retenues.
(Ou les deux autres si R'<R).