Apollonius DDC

Construction des cercles tangents à deux droites et un cercle donnés.
Cas où les droites sont sécantes en O.
Les points déplaçables C et le point R définissant le rayon changent le cercle. Le point bleu sur d' change la droite d'
(O et d sont fixes, sans perte de généralité)

Soit R le rayon du cercle donné. On trace les droites parallèles aux droites données et à distance ±R.
Elles se coupent deux à deux en I1, I2, I3, I4.
La construction suivante est répétée pour chacun des points I.
Tracer le cercle de rayon R et de centre O, tangent à ces droites.
La droite OI est la bissectrice de l'angle I (losange).
La droite IC coupe le cercle de centre O en A et A'.
Le point P (resp. P') est l'homothétique de O dans le rapport IC/IA (resp. IC/IA'), de centre I.
On obtient ainsi les 4×2 solutions, au maximum.

Droites parallèles

Même construction mais la bissectrice est remplacée par la droite médiane de deux droites parallèles, et l'homothétie par une translation.
Il n'y a au plus que 4 solutions.

Mais ce cas est beaucoup plus simple : On peut tout aussi bien construire les intersections de la droite médiane avec les cercles de centre C et de rayon d ± R, où 2d est la distance des droites.