Apollonius PCC

Construction des cercles tangents à deux cercles donnés et passant par un point donné.
Les points déplaçables bleus définisent les cercles.
A déplaçable est le point donné.

Construire le centre d'homothétie S entre les deux cercles (par deux rayons parallèles homologues)
Soient E et F deux points anti-homologues de la ligne des centres.
C'est à dire ceux qui ne se correspondent pas dans l'homothétie de centre S.
Construire le cercle circonscrit à AEF.
Il recoupe (C) en N et la droite EN recoupe AS en M.
Soit MT une tangente de M à (C).
La médiatrice de AT et la droite CT se coupent en O, centre d'un cercle cherché.
La construction est répétée avec l'autre tangente MT', puis avec l'autre centre de similitude.
Si les cercles donnés se coupent, il y a au plus deux solutions, sinon au plus 4 selon la position de A.

Si les deux cercles sont égaux, l'un des centres de similitude est à l'infini.
La construction fonctionne à condition de remplacer AS par la parallèle en A à la ligne des centres.
Si A est sur une tangente commune aux cercles donnés, une solution dégénère en cette tangente commune et la construction précédente devient imprécise.
Si A est sur la droite des centres, la construction précédente échoue car le cercle circonscrit à AEF est la droite des centres elle-même.

A C C' alignés

On obtient immédiatement un second point B du cercle cherché par SA.SB = SE.SF
On est alors ramené au cas PPC avec les points A,B et le cercle (C).
Tracer un cercle quelconque centré sur la médiatrice de AB et passant par A et B, et coupant (C) en deux points M et N.
MN coupe CC' en P. Les points de contact avec (C) sont les points de contact T, T' des tangentes de P à (C).
Les cercles cherchés sont alors circonscrits à ABT
La construction est répétée avec l'autre centre de similitude.

Si A est en S, l'une des solution dégénère en la tangente commune aux deux cercles, et la construction devient imprécise.