Apollonius CCC - Construction de Gergonne

Construction des cercles tangents à trois cercles.

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La première étape consiste à construire les centres de similitudes des cercles pris deux à deux
Ces centres sont alignés sur 4 droites :
La droite reliant les 3 centres de similitude positive (externes) J12-J13-J23
Les 3 droites reliant un centre de similitude positive aux deux autres centres de similitude négatives (internes) J12-I23-I13, J13-I12-I23, J23-I12-I13
La construction est classique : par des points homologues sur deux parallèles quelconques passant par les centres

On construit le centre radical R des trois cercles, intersection des axes radicaux.
Un cercle quelconque (cyan) coupant les deux cercles (O1) et (O2) est tracé, les axes radicaux de ce cercle avec (O1) et avec (O2) se coupent au centre radical de ces cercles.
La perpendiculaire en ce point à la ligne des centres est l'axe radical de (O1) (O2)
On opère de même avec (O1) et (O3). Le centre radical est l'intersection des deux axes radicaux.

Chacune des droites JJJ et JII conduit à une paire de cercles solution
On construit pour chacune les poles Xi par rapport aux trois cercles
Les points de contact sont les intersections des cercles avec les droites RXi
Une fois les points de contacts obtenus, le tracé du cercle passant par ces points est une simple formalité.

L'applet échoue si l'un des centres de similitude est à l'infini (deux cercles égaux) ou dans d'autres cas particuliers envoyant des points à l'infini (centres alignés : le centre radical est à l'infini) ou indéterminé comme intersections de droites confondues (cercles concentriques) etc etc.
Une applet traitant tous les cas possibles devient très vite extrèmemement complexe.
L'applet proposée ne traite donc que le cas "général" de cercles sans particularité. Elle comporte déja plus de 200 éléments !!

Démonstration

Les 8 cercles solutions sont triés par paires selon qu'ils ont le même type ou pas de contact avec les cercles donnés.
1er cas : 3 contacts extérieurs et 3 contacts intérieurs
3 autres cas : un contact de type différent des deux autres
Examinons par exemple le cas du cercle tangent extèrieurement aux trois cercles donnés, et son "compère" tangent intérieurement aux trois cercles.
Soient P1,P2,P3 les points de contacts de (c) et Q1,Q2,Q3 ceux de (c') sans préciser lequel des deux est (c) et lequel est (c') d'ailleurs.

Lemme :
si un cercle est tangent à deux autres "de la même façon", les points de contacts sont antihomologues par rapport au centre de similitude extérieur J.
si un cercle est tangent à deux autres "de façon différente", les points de contacts sont antihomologues par rapport au centre de similitude intérieur I.

En considérant l'inversion de centre ce centre de similitude, qui échange les deux cercles et conserve le cercle tangent inchangé, IP1.IP2 = constante (puissance ce cette inversion) et de même JP1.JP2 Le signe de cette puissance détermine lequel des deux centres de similitude.
De plus les tangentes aux points de contact se coupent sur l'axe radical des deux cercles (tangentes égales au cercle tangent commun, donc puissances égales par rapport aux deux cercles)
Dans l'applet le point P1 est déplaçable, de même que les centres des cercles et leur rayon est défini par le petit point cyan déplaçable.

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Les points de contacts P1,Q1 et P2,Q2 des deux cercles associés "de même type" sont donc tels que J12P1.J12P2 = J12Q1.J12Q2 ce qui exprime que J12 est sur l'axe radical (a même puissance) des cercles (c) et (c')
On en déduit en substituant les indices que J12, J13 et J23 sont sur cet axe radical, donc alignés, pour les deux cercles (c) et (c') qui ont même type de contact avec les trois cercles.
Et que la paire de cercles (c) et (c') qui ont même type de contact avec (O1) et (O2) mais un type différent pour (O3) donne J12 (même type), I13 (type différent pour (O1) et (O3)) et I23 (type différent pour (O2) et (O3)) alignés sur l'axe radical de ces (c) et (c') là
CQFD pour l'alignement des centres de similitudes sur 4 droites

Considérons maintenant les cercles (c) et (c') d'une paire, par rapport au cercle (O1). Ces cercles ont un type de contact différent avec (O1). Les points de contact de (O1) avec (c) et (c') c'est à dire P1 et Q1 sont antihomologues par rapport au centre de similitude intérieur de (c) et (c')
Mais l'inversion qui conserve les cercles (O1), (O2) et (O3), de pôle le centre radical R des 3 cercles donnés, échange (c) et (c') donc le centre de similitude en question de (c) et (c') est ce centre radical
Conclusion : P1Q1 passe par le centre radical R de (O1), (O2) et (O3) et de même pour P2Q2 et P3Q3.

Les tangentes en P1 et Q1 à (O1) (et donc à (c) et (c')) se coupent sur l'axe radical de (c) et (c'), qui est J12J13J23
(respectivement J12I13I23 etc selon la paire (c)(c') choisie)
Le pole de P1Q1 est donc sur cette droite, et inversement donc le pole X1 de cette droite est sur P1Q1.

Et finalement :
P1Q1 est la droite reliant le centre radical R des 3 cercles donnés et le pole X1 de la droite J12J13J23 par rapport à (O1) (respectivement J12I13I23 etc)
D'où la construction de Gergonne de Pi et Qi comme intersections des cercles avec les droites RXi

Mais la difficulté reste de choisir les bons triplets de points parmi ces 6 points et les 2³ = 8 façons de le faire, dont deux seulement sont les bonnes !
La solution adoptée est :
Baptiser P1 et Q1 arbitrairement, intersections de (O1) avec RX1.
P2 est alors sans ambigüité l'intersection de J12P1 avec RX2
Etc (idem pour P3, et respectivement I/J selon les paires de cercles)

Retour sur la construction élémentaire

La construction "simple" en ramenant le problème à celui d'un point et de deux cercles par diminution/augmentation des rayons est détaillée dans l'applet suivante.
Un des cercles est réduit à son centre en retranchant son rayon à celui de tous les cercles.
Pour éviter des problèmes de signes, il vaut mieux choisir le cercle de plus petit rayon.
En fait les deux autres cercles voient leur rayon augmenté ou diminué selon que le cercle cherché à des contacts de même type ou non que le cercle réduit.
Ce qui donne les 4 possibilités et les 4 familles de deux solutions.
La construction est alors ramenée à une construction PCC (un point O3, et les deux cercles de rayon "augmenté" de ±R3)
Mais .... lors de cette construction PCC on obtient 4 solutions, ce qui semble donner 4×4 = 16 solutions !
Que nenni. On ne peut pas choisir à volonté quel centre de similitude on prend pour la construction PCC.
Selon que les deux cercles (O2) et (O3) ont vu leur rayon varier dans le même sens ou pas.
Il faut choisir le centre de similitude positive (extérieur) si les cercles ont variés dans le même sens (++ ou --) c'est à dire ont même type de contact avec le cercle cherché.
Il faut choisir le centre de similitude négative (intérieur) si les cercles ont variés dans des sens opposés (+- ou -+) c'est à dire ont un type de contact différent avec le cercle cherché.
(Voir le lemme ci-dessus)
Les centres de similitude concernés sont bien entendu ceux pour la construction PCC avec les cercles "réduits", pas les centres de similitude des cercles d'origine !

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Là aussi l'applet se crashe si des cas particuliers envoient un point à l'infini, ou si des droites ou points intermédiaires sont confondus.
(O3) doit être le cercle de plus petit rayon (sinon fait n'importe quoi).
Les boutons Show et Hide montrent/cachent la construction PCC détaillée (en vrac, voir l'applet PCC pour les détails)

 

 

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