La première étape consiste à construire les centres de similitudes des cercles pris deux à deux
Ces centres sont alignés sur 4 droites :
La droite reliant les 3 centres de similitude positive (externes) J12-J13-J23
Les 3 droites reliant un centre de similitude positive aux deux autres centres de similitude négatives (internes)
J12-I23-I13, J13-I12-I23, J23-I12-I13
La construction est classique : par des points homologues sur deux parallèles quelconques passant par les centres
On construit le centre radical R des trois cercles, intersection des axes radicaux.
Les tangentes en deux points antihomologues B et C (pour la similitude négative qui existe toujours) se coupent en un point de l'axe radical, et celui-ci est perpendiculaire à la ligne des centres.
Construction plus robuste que par un cercle quelconque coupant les deux autres. (le problème étant le choix du cercle quelconque !)
On opère de même avec (O1) et (O3). Le centre radical est l'intersection des deux axes radicaux.
Chacune des droites JJJ et JII conduit à une paire de cercles solution
On construit pour chacune les poles Xi par rapport aux trois cercles
Les points de contact sont les intersections des cercles avec les droites RXi
Une fois les points de contacts obtenus, le tracé du cercle passant par ces points est une simple formalité.
L'applet échoue si l'un des centres de similitude est à l'infini (deux cercles égaux) ou dans d'autres
cas particuliers envoyant des points à l'infini (centres alignés : le centre radical est à l'infini)
ou indéterminé comme intersections de droites confondues (cercles concentriques) etc etc.
Une applet traitant tous les cas possibles devient très vite extrèmemement complexe.
L'applet proposée ne traite donc que le cas "général" de cercles sans particularité.
Elle comporte déja plus de 200 éléments !!
Lemme :
si un cercle est tangent à deux autres "de la même façon", les points de contacts sont antihomologues par
rapport au centre de similitude extérieur J.
si un cercle est tangent à deux autres "de façon différente", les points de contacts sont antihomologues par
rapport au centre de similitude intérieur I.
En considérant l'inversion de centre ce centre de similitude, qui échange les deux cercles et conserve le
cercle tangent inchangé, IP1.IP2 = constante
(puissance ce cette inversion) et de même JP1.JP2
Le signe de cette puissance détermine lequel des deux centres de similitude.
De plus les tangentes aux points de contact se coupent sur l'axe radical des deux cercles
(tangentes égales au cercle tangent commun, donc puissances égales par rapport aux deux cercles)
Dans l'applet le point P1 est déplaçable, de même que les centres des cercles et
leur rayon est défini par le petit point cyan déplaçable.
Les points de contacts P1,Q1 et P2,Q2 des deux cercles associés
"de même type" sont donc tels
que J12P1.J12P2 = J12Q1.J12Q2
ce qui exprime que J12 est sur l'axe radical (a même puissance) des cercles (c) et (c')
On en déduit en substituant les indices que J12, J13 et J23
sont sur cet axe radical, donc alignés, pour les deux cercles (c) et (c') qui ont même type de contact avec les
trois cercles.
Et que la paire de cercles (c) et (c') qui ont même type de contact avec (O1) et (O2)
mais un type différent pour (O3)
donne J12 (même type), I13 (type différent pour (O1) et (O3)) et
I23 (type différent pour (O2) et (O3)) alignés sur l'axe radical de ces (c) et (c') là
CQFD pour l'alignement des centres de similitudes sur 4 droites
Considérons maintenant les cercles (c) et (c') d'une paire, par rapport au cercle (O1).
Ces cercles ont un type de contact différent avec (O1).
Les points de contact de (O1) avec (c) et (c') c'est à dire P1 et Q1 sont antihomologues par rapport au centre de similitude intérieur de (c) et (c')
Mais l'inversion qui conserve les cercles (O1), (O2) et (O3), de pôle le centre radical R des 3 cercles donnés,
échange (c) et (c') donc le centre de similitude en question de (c) et (c') est ce centre radical
Conclusion : P1Q1 passe par le centre radical R de (O1), (O2) et (O3)
et de même pour P2Q2 et P3Q3.
Les tangentes en P1 et Q1 à (O1) (et donc à (c) et (c')) se coupent sur l'axe radical de (c) et (c'),
qui est J12J13J23
(respectivement J12I13I23 etc selon la paire (c)(c') choisie)
Le pole de P1Q1 est donc sur cette droite, et inversement donc le pole
X1 de cette droite est sur P1Q1.
Et finalement :
P1Q1 est la droite reliant le centre radical R des 3 cercles
donnés et le pole X1 de la droite J12J13J23 par rapport à (O1)
(respectivement J12I13I23 etc)
D'où la construction de Gergonne de Pi et Qi comme intersections des cercles avec les droites
RXi
Mais la difficulté reste de choisir les bons triplets de points parmi ces 6 points et les 2³ = 8
façons de le faire, dont deux seulement sont les bonnes !
La solution adoptée est :
Baptiser P1 et Q1 arbitrairement, intersections de (O1) avec RX1.
P2 est alors sans ambigüité l'intersection de J12P1 avec RX2
Etc (idem pour P3, et respectivement I/J selon les paires de cercles)
voir la 1ère figure et l'applet.
Là aussi l'applet se crashe si des cas particuliers envoient un point à l'infini,
ou si des droites ou points intermédiaires sont confondus.
(O3) doit être le cercle de plus petit rayon (sinon fait n'importe quoi), imposé dans l'applet Geogebra
Les boutons montrent/cachent la construction PCC détaillée
(en vrac, voir l'applet PCC pour les détails)