La règle seule

Ah les sales mômes ! Comme ils chahuttent avec leur compas et que c'est trop dangereux, j'ai confisqué tous les compas. Ils leur faut maintenant utiliser seulement la règle. Et même, à force de taper avec leur règle sur la tête (dure) de leurs petits camarades, un côté est tout abimé et ils ne peuvent se servir que d'un seul côté de leur règle. Et le côté abimé est celui où il y avait les graduations ! exit les graduations aussi.
Bon d'accord, ils ne peuvent pas faire grand chose avec ça seulement. Mais au fait que peuvent ils encore construire ?
• milieu d'un segment ? solution
• Etant donné une seule droite construire une parallèle ? solution

• Etant donné trois points alignés A,B,C, construire le conjugué harmonique de C par rapport à AB ?
   (c'est à dire DA/DB = -CA/CB). Indice

• Etant données deux droites d1 et d2 qui se coupent en dehors de la feuille (ou parallèles).
   Par un point donné P tracer une droite concourante (ou parallèle).Indice

Comme on vient de le voir, tracer des parallèles nécessite que l'on en ait déja !

• étant données deux paires de parallèles et une droite D, construire une parallèle à D en un point P donné. Indice

• étant donnés un segment AB et une droite parallèle, construire le milieu de AB. Indice
Et vice versa : étant donné un segment AB et son milieu, construire une parallèle en P à AB.

Passons maintenant aux perpendiculaires...
Il faut bien entendu donner un angle droit quelque part !
• Etant donné un carré ABCD et une droite d. Construire en P la perpendiculaire à d.

Avec ce carré, on peut déjà construire pas mal de choses, mais...
• Donner un point non constructible, alors qu'il l'est avec un compas.
Solution

Des cercles...

Montrer que avec le gobelet circulaire qui leur sert dans les cours de peinture, les élèves peuvent construire à la règle seule (à un seul côté) aidée du gobelet (de quelques cercles sans leur centre) tous les points que l'on peut construire à la règle et au compas.

• En particulier construire à la règle seule le centre de leur gobelet.
Indice

Ensuite :
• reporter alors un segment donné sur une droite quelconque.
• étant donnés deux points A et B et une droite D, construire les points d'intersection de D avec le cercle (intraçable) de centre A et de rayon AB.
• étant donnés les points A,B et C,D construire les points d'intersection des cercles (intraçables) de centre A rayon AB et de centre C rayon CD.
Indice

On a ainsi prouvé que tous les points constructibles à la règle et au compas sont constructibles à la règle et au gobelet.
J'ai bien eu raison de leur confisquer leurs compas !

Détails

 

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