Les fusées - Solution

Bien entendu pendant que la fusée A se dirige vers B, B se déplace et A doit ajuster sa trajectoire.
Les fusées décrivent ainsi une spirale logarithmique vers le centre du carré.
Par raison de symétrie, la figure formée par les fusées est à chaque instant un carré dont le côté se rétrécit, et qui tourne de plus en plus vite sur lui même.
L'angle de la direction de chaque fusée avec le rayon vecteur OA est ainsi constant et égal à 45°
Ceci est la caractéristique d'une spirale logarithmique (angle de la tangente et du rayon vecteur = cte)

La vitesse de diminution du côté AB du carré est la projection sur ce côté des vitesses des deux fusées A et B, c'est à dire la vitesse de A, soit 1 km/s. Le côté de 30 km mettra 30s à devenir nul.

Si les 3 fusées sont au sommet d'un triangle équilatéral, la projection des vitesses donne
la vitesse de rapprochement v(1 + cos60°) = 1,5 km/s et le côté mettra 30/1.5 = 20s à devenir nul.

Si les 6 fusées sont aux sommets d'un hexagone, la vitesse de rapprochement est v(1 - cos60°) = 0.5 km/s
et le côté mettra 30/0.5 = 60s à devenir nul.

Le cas d'un nombre quelconque de fusées aux sommets d'un n-gone régulier se résout de même.
L'angle au sommet du n-gone étant π(n - 2)/n la vitesse de rapprochement est v' = v(1 + cos(π - 2π/n)) = v(1 - cos(2π/n)) et le temps de vol T = a/v'.
Une autre façon de voir les choses est de considérer une seule fusée se dirigeant en permanence à l'angle φ du rayon vecteur.
Le problème précédent est avec φ la moitié de l'angle au sommet précédent soit φ = π(n - 2)/(2n)
La vitesse de rapprochement de A vers le centre est alors v.cos(φ)
Le temps de vol est de T = OA/(v.cos(φ)) et la distance parcourue L = v.T = R/cos(φ), c'est à dire l'hypothénuse de OAM, où OM _|_OA.

La longueur d'une spirale logarithmique est L = AM = OA/cos(φ) où φ est l'angle de la tangente et du rayon vecteur.

L'applet trace la spirale logarithmique, l'angle φ étant modifiable par le point dragable bleu.
O est déplaçable pour centrer la spirale.
Bien entendu l'applet se limite à quelques tours de la spirale infinie ! (visible si φ > 85°)
φ est limité à strictement < 90° (89.9°)
L'animation (bouton Run) fait tourner le rayon vecteur sur un seul tour.

On peut aussi "s'amuser" à calculer directement cette longueur.

 

L'équation différentielle de la spirale est dr = cotg(φ) × r.dθ soit r = R.e^-cotg(φ)θ en tenant compte de ce qui nous intéresse, (les θ > 0 vers le centre) avec R = OA distance initiale au centre.
La longueur s'obtient en intégrant l'élément de longueur ds = r.dθ/sin(φ) et donc L = R ∫₀^∞e^-cotg(φ)θ/sin(φ) dθ = R/(cotg(φ)sin(φ)) = R/cos(φ)