Des cercles - solution

On peut caser 9 cercles unités dans un cercle plus grand de rayon R ainsi.
Valeur du rayon ?
R = OA + OB = 2r√2 + r

R = r(1 + √8) = 3.828427...

Mettre dix cercles unités dans ce même cercle.

On place tout d'abord les cercles de centre A et B, tangents entre eux et au grand cercle.
On place ensuite un cercle de centre C tangent en O au diamètre.
Reste à prouver que (B) et (C) sont tangents...

Les triangles rectangles OAM, OAP et OBP sont égaux, les angles en O sont donc égaux. soit BÔM = 3AÔM = 3α
Donc OH = OB.cos(3α) = (R-r)(4cos³(α) - 3cos(α))
OM = OA.cos(α) = (R-r)cos(α)
Soit OH/OM = 4cos²(α) - 3 = 1 - 4sin²(α)
sin(α) = AM/OA = r/(R-r) = 1/√8
Donc OH/OM = 1 - 4/8 = 1/2.
BH est donc la médiatrice de OM, et la médiatrice de AC, soit BC = AB = 2r. CQFD

Mais ceci n'est pas l'optimum comme l'indique le "Packing center" de Erich Friedman.

En appelant R+r le rayon du grand cercle pour simplifier l'écriture, OA = OB = R.
L'angle CÔA = α et donc CÔB = 7α
OE = r(2 + √3) - R.cos(α)
Dans le triangle BOE, BE² = OB² + OE² + 2OB.OE.cos(7α)
4r² = R² + (r(2 + √3) - R.cos(α))² + 2R(r(2 + √3) - R.cos(α))cos(7α)
Soit en posant x = r/R :
(3 + 4√3)x² - 2x(2 + √3)(cos(α) - cos(7α)) + 1 + cos²(α) - 2cos(α)cos(7α) = 0
Dans le triangle OAC, x = AC/OA = sin(α)
La formule de De Moivre donne :
cos(7α) = cos⁷(α) - 21cos⁵(α)sin²(α) + 35cos³(α)sin⁴(α) - 7cos(α)sin⁶(α)
et en tenant compte de sin(α) = x et cos(α) = sqrt(1 - x²), une équation algébrique f(x) = 0 certes un peu compliquée, dont la résolution numérique donne :

x = 0.355489117780623...  et (R + r)/r = 1 + 1/x = 3.813025631398...