La Pizza - solution
Partage équitable de la pizza et de sa garniture.
Il faut tout d'abord démontrer le Théorème de la pizza
Si on coupe un disque (une pizza...) à partir d'un point quelconque par 4 droites quelconques à 45 degrés,
la surface totale des portions paires est égale à la surface totale des portions impaires.
Lemme
Les longueurs des segments formés par deux cordes sécantes perpendiculaires satisfont à la relation
a² + b² + c² + d² = 4R²
M milieu de CD et N milieu de AB.
Dans le triangle OMD : OD² = OM² + MD²
MD = CD/2 = (PC + PD)/2
OM = NP = NB-BP = (PA + PB)/2 - PB = (PA - PB)/2
D'où R² = OD² = ((PA - PB)/2)² + ((PC + PD)/2)² et en développant
R² = (PA² + PB² + PC² + PD²)/4 + (PC.PD - PA.PB)/2
La puissance de P est PC.PD = PA.PB
Donc PA² + PB² + PC² + PD² = 4R²
Démontrons alors le théorème de la pizza.
L'aire totale des parties bleues est, sans besoin d'expliciter les fonctions
a(θ), b(θ), c(θ),
d(θ) donnant les rayons vecteurs en fonction de θ :
S1 = ∫0φ (a²(θ)/2 + b²(θ)/2 + c²(θ)/2 + d²(θ)/2) dθ = ∫0φ4R²/2 dθ = 2R²φ
De même l'aire des parties blanches est S2 = 2R²(π/2-φ)
Lorsque φ = π/4, ces deux surfaces sont égales. CQFD.
Si deux disques se recouvrent, un point P dans la partie commune permet de découper ainsi simultanément
chacun des deux disques en surfaces égales. C'est ce qui se passe avec la pâte de la pizza, la garniture de
tomate et celle d'anchois qui sont simultanément partagées.
Ce partage est ainsi fait "automatiquement" tant que les différentes zones (garnitures ) ont une partie commune,
quel que soit leur nombre.
Pour l'œuf, il n'a pas de partie commune avec la zone anchois, mais il suffit de faire passer un des
rayons vecteurs par le centre de l'œuf pour partager celui-ci équitablement.
Supposons maintenant deux disques concentriques de rayon R et R+dR, la couronne est, elle aussi, partagée en 2 surfaces égales, et par conséquent en faisant tendre dR vers 0, le périmètre du cercle (le bord de la pizza) est lui aussi partagé.
Le dernier problème est posé par les poivrons...
Le centre de découpe étant dans la partie anchois, un rayon vecteur doit passer par le centre de l'œuf,
et un rayon vecteur (ou le même) doit passer par le centre des poivrons.
Bien entendu le rôle des anchois-œuf-poivron étant symétrique, on peut aussi bien choisir le point de
découpe dans l'œuf ou dans les poivrons, les centres des deux autres devant se trouver sur des rayons vecteurs
(En particulier s'il fallait partager le blanc et le jaune de l'œuf, on n'a pas le choix :
le centre de découpe doit être dans l'œuf !).
Le lieu géomètrique du centre de découpe est celui d'où on voit les deux centres choisis A et B sous un angle
de kπ/4, c'est à dire l'ensemble formé de la droite AB, du cercle de diamètre AB
et des deux cercles "à 45° " en A et B.
Si ce lieu géométrique passe dans la troisième zone, le problème est possible.
Sans contraintes particulières (le blanc/jaune de l'œuf), on a donc intérêt à choisir le centre de découpe
dans la zone la plus grande.
Une preuve sans mots
Par une dissection judicieuse des parts, la preuve devient évidente par symétries,
chaque convive recevant un et un seul morceau de chaque couleur.
M est le milieu de AE, N le milieu de CG, P' symétrique de P par rapport à M, P" le symétrique de P par rapport à N,
et des parallèles aux coupes d'origine.
La construction fonctionne si CG<AE et PC<PG, soit P dans le premier octant,
sinon certains morceaux ont une aire "négative".
On peut toujours se ramener à ce cas par symétrie/rotation,
Généralisation
Le théorème de la pizza peut se généraliser à 2n droites définissant 4n régions.
Les sommes des aires des 4 surfaces homologues sont égales à S/n.
C'est à dire que les portions sont numérotées modulo n. Une part est l'ensemble des 4 portions de même numéro. Ceci permet de partager la pizza en n. La garniture ne peut plus être formée de zones séparées mais doit être partagée comme un tout si n > 2. (c'est à dire formée de cercles imbriqués, le point P étant intérieur à tous les cercles).
D'autres découpes de la Pizza : Pizza II et Zig Zag
