Triangle max 4 - Exemples

Rappelons les conditions obtenues :

 (a² - r²)m³ - 3a.p.m² + (2p² - r² - a²)m + a.p = 0  (1)

Avec a distance de O à la droite AP
Ordonnée de P = -p
m pente de PBC

Cette équation du 3ème degré ne conduit généralement pas à des constructions effectives (à la règle et au compas)
Nous étudierons ici quelques cas particuliers où les constructions sont élémentaires, à l'exception de a = r qui est le problème #2.

p = 0 C'est à dire AP _|_OP

(1) donne  m[(a² - r²)m² - (r² + a²)] = 0; 

Soit m = 0 ou m = ±√((a² + r²)/(a² - r²))
Seul m = 0 donne le maximum absolu.
Les deux autres valeurs donnent des "sécantes" qui ne coupenr pas le cercle.
Preuve directe : chacun des triangles APC et APB est maximal quand PC ou PB passe par O. (Si P extérieur au cercle, APB minimal et APC maximal)

m = 1 C'est à dire APB = 45°

(1) donne  p² = r² + ap 

ap = p² - r² < p² et donc a< p
Par exemple a = p/4 et donc r = p √3 / 2

Construire le triangle équilatéral STU, TU passant par O.
Reporter sur OS, à l'extérieur du triangle, OA = OT/2
Complèter le parallélogramme ATUP.

Le triangle ABC a l'aire maximale quand l'angle APB = 45°.

Un carré fructueux

m = 1 bis
p² = r² + ap avec a = 2r donne p² - 2rp - r² = 0 soit p = r(1+√2)

Construire le carré ATUV de côté AT = OT = r
VP = VT = r√2 et donc AP = r(1+√2)

Le triangle ABC a l'aire maximum quand l'angle APB = 45°

Nota : AB n'est pas tangent au cercle.

m = 1/√3 C'est à dire APB = 60°

(1) donne  3p² = a² + 2r² 

Bien sûr a = p = r redonne le cas #2 (a = r).
Un exemple pour le cas #4 : a = 2r, p = r√2

Construire le carré ATUV de côté AT = OT = r
AP = AU = r√2

Le triangle ABC a l'aire maximum quand l'angle APB = 60°

Conclusion : Le carré de côté r, tangent au cercle en un de ses sommets conduit aux deux angles remarquables de 45 et 60°