Polygone maximum - Solution

Plus grand triangle équilatéral

Examinons le "diamètre" d'un triangle équilatéral, c'est à dire sa plus grande dimension.
Dans ce cas il s'agit en fait du côté.
Le plus grand triangle sera obtenu quand les extrémités du diamètre AB seront sur des côtés opposés du carré.
Comme un même sommet appartient à deux diamètres, les extrémités de cet autre diamètre AC doivent être sur les deux autres côtés du carré.
Le sommet A du triangle est donc sur un sommet du carré.

A partir de la position symétrique où la diagonale du carré et la hauteur du triangle sont confondues, si on fait pivoter le triangle, le sommet fixé dans l'angle, son côté diminue.
La solution est donc bien maximale.
L'angle de AC avec le côté est de π/4 - π/6 = π/12 = 15°
Le coté maximum du triangle est donc c = a/cos(π/12) = 1.035276...

La construction de l'angle MAP = MOP/2 = π/6 est immédiate.

Pour le triangle, tout ceci semblait évident,ce ne sera plus aussi trivial pour l'hexagone ou le pentagone.

plus grand pentagone

Les diamètres AB et CD, égaux, étant sur les cotés opposés, ils sont symétriques par rapport à la diagonale du carré.
L'angle ICA = π/5 donne CIM = π/2 - π/5 = 3π/10
et l'angle de CD avec l'horizontale = 3π/10 - π/4 = π/20
Donc CD = a/cos(π/20) et le coté CA = CD/(2cos(π/5))

c = a/(2.cos(π/20).cos(π/5)) = 0.62573786...

La construction n'est pas triviale, le centre du pentagone n'est pas au centre du carré.
Tracer le cercle de diamètre OD, de centre I. AI coupe le cercle de centre I en U et V. Les cercles de centre A et de rayons AU et AV coupent le cercle circonscrit au carré en M et N qui sont, avec C des sommets du pentagone inscrit dans ce cercle.
Tracer OS // MN qui est égal à la demi diagonale du pentagone cherché inscrit dans le carré.
Sur la diagonale BD, reporter OT = OS, puis la parallèle à AC en T donne le point E, à la distance OS de AC, et donc E est le sommet cherché.
Tracer EG // MN, puis GF // BD et EH // BD, enfin complèter le pentagone par EK = EF.
Note : AN ≠ AG, et EG ne passe pas par V !

plus grand hexagone

Idem, la diagonale du carré est aussi la diagonale de l'hexagone.
L'angle de AB avec l'horizontale est π/3 - π/4 = π/12

c = a/(2.cos(π/12)) = 0,517638...

Construction : construire l'angle MOP = π/3

plus grand octogone

Idem, on aboutit à la solution avec des côtés de l'octogone sur les côtés du carré.
L'angle de AB avec l'horizontale est π/8 et donc

c = a.tan(π/8) = √2 - 1 = 0,4142...

La construction de cet octogone est particulièrement simple !
Tracer les arcs centrés sur chaque sommet du carré et passant par le centre.
La preuve que l'octogone ainsi obtenu est régulier est élémentaire :
Les deux cercles centrés en A et B se recoupent en M, symétrique de O par rapport à AB.
L'angle inscrit EMO est donc la moitié de l'angle au centre EBO = π/4
Donc EOM = EMO = π/8 et AOE = AOM - EOM = π/8

cas général

Si le nombre de côtés est multiple de 4, n = 4k, la solution est comme pour l'octogone :

c = a.tan(π/n)

Si le nombre de côtés n = 4k + 2, comme pour l'hexagone, le centre est commun et deux sommets opposés sont sur une diagonale du carré.

c = a.sin(π/n) / cos(π/2n)

Si le nombre de côtés est impair, un sommet sur une diagonale, la diagonale est axe de symétrie, comme pour le pentagone.

c = 2a.sin(π/2n) / cos(π/4n)