Demi-cylindre sur un plan incliné - Solution

Un cylindre plein est coupé en deux dans le sens de la longueur.
Il est placé sur un plan, côté convexe.
On incline le plan (on supppose qu'il roule sans glisser).
Quand le demi-cylindre bascule-t-il ?

A tout moment, le centre de gravité G est à la verticale du point de contact M.
Mais ceci ne suffit pas ! L'équilibre est stable uniquement si le centre de gravité est alors le plus bas possible.
C'est à dire que si l'on fait rouler légèrement le cylindre vers le bas, ou vers le haut, le centre de gravité remonte dans les deux cas.
On peut voir aussi le critère de stabilité selon la verticale passant par G après un petit déplacement :
Si elle passe du côté opposé au déplacement de M, l'équilibre est stable, le couple exercé ramène le cylindre vers sa position d'équilibre. Sinon il écarte encore d'avantage le cylindre de sa position d'équilibre.

Un premier problème est de déterminer le centre de gravité G du 1/2 cylindre...
En coupe, le centre de gravité est le même que celui d'un demi disque.
Si on fait tourner le demi disque autour du diamètre AB, il engendre une sphère et le théorème de Guldin nous donne alors OG = h, V volume de la sphère, A aire du demi disque :
V = 2πh×A, soit 4πR³/3 = 2πh×πR²/2 et donc h = 4R/(3π)

De la figure (1), on tire alors la relation entre l'inclinaison α du plan (P) et celle du pan coupé β :
OH = OM.sin(α) = OG.sin(β), soit : R.sin(α) = 4R/(3π).sin(β)

sin(β) = 4/(3π) sin(α)

Etudier directemet la hauteur du centre de gravité quand le demi cylindre roule sur un plan incliné n'est pas une mince affaire et nous utiliserons une astuce :
Supposons tout d'abord le demi cylindre complèté à un cylindre entier, avec un complément de masse nulle pour ne pas affecter le centre de gravité, juste pour pouvoir le faire rouler plus facilement.
En se plaçant dans un repère lié au plan incliné, quand on fait rouler le cylindre, le point G décrit une courbe cycloïdale.

L'horizontale est une droite (inclinée dans ce repère) tangente à la cycloïde de sorte que la position de G soit extrèmale par rapport à cette tangente. La position est stable si la cycloïde est localement au dessus de cette horizontale. La position est instable si la cycloïde est au dessous de la tangente.
Ceci permet de définir l'équilibre critique : lorsque l'horizontale est tangente à la cycloïde en son point d'inflexion, c'est à dire quand la pente de cette tangente est maximale.

Le problème revient donc à déterminer les tangentes à la cycloïde, et trouver celle qui a la plus grande pente.
Considérons le problème d'un point de vue cinématique, avec un cylindre roulant à la vitesse v = Rω. Le mouvement du point G est la composition d'une rotation, ce qui donne une composante GI = hω perpendiculaire à OG, et une translation parallèle au plan qui donne une composante GJ = Rω Le vecteur vitesse résultante GK de G donne la tangente à la cycloïde. La pente de cette tangente est maximale quand le vecteur GK est perpendiculaire à la composante rotation GI donc parallèle à OG.
Nota : Les triangles OGM et IGK sont semblables, GM est donc normale à la cycloïde, ce qui est normal vu le critère d'équilibre...

Conclusion : La position critique est lorsque OG est horizontal, on a alors sin(α) = h/R = 4/(3π) et

α_max = 25.11... degrés . Le point M est en E, GE // OB, entre C et B et la position est valide
(au delà de B, le bord du cylindre est virtuel...)

Et finalement :
Lorsqu'on incline le plan de 0 à α_max, le point M varie de C à E, le pan coupé AB s'incline de 0 à 90 degré, l'équilibre est stable pour toutes ces positions.
L'inclinaison α_max est la limite de l'équilibre. Au delà, le cylindre bascule : tout d'abord il continue de lui même à rouler, le point M variant de E à B. Une fois le point de contact en B, il tombe sur son pan coupé.

Une applet Geogebra pour incliner le plan et visualiser les positions d'équilibre.
Le curseur g = OG/R définit le centre de gravité (4R/3π = 0.424413 R pour un demi-cylindre)
Le point bleu incline le plan, le point M permet de faire rouler le cylindre.
Le cercle rouge est la position d'équilibre stable quand elle existe α < &alpha_max.
A l'initialisation, M est au point d'équilibre instable.

Autres cas

Le déséquilibre d'un cylindre peut être dû à d'autres causes que la suppression d'une moitié de ce cylindre.
La seule différence est la position du centre de gravité, mais le résultat final est toutefois le même :

l'angle critique est sin(α) = h/R.

Par exemple si les deux faces du cylindre ne sont pas parallèles.

Le calcul du centre de gravité donne : h = R/4 (a - b)/(a + b)

et l'angle critique est sin(α) = 1/4 (a - b)/(a + b)

Calcul du centre de gravité du cylindre à faces non parallèles :

Tout d'abord le volume, sans calculs inutiles :
Si on coupe perpendiculairement à l'axe au milieu du plan incliné, le morceau en trop est identique au morceau manquant, et donc le volume est le même que celui d'un cylindre droit de hauteur (a + b)/2 :

V = πR²(a+b)/2

Nous retrouverons cette formule au cours des calculs par intégrales suivant.

Coupons notre cylindre en tranches horizontales d'épaisseur dz.
Chacune est un rectangle de largeur x et de longueur 2y, donc de volume dV = 2x.y dz.
La position sur l'axe z du centre de gravité est alors z_G = ∫z.dV /∫dV, soit (2/V)∫_-R^+R x.y.z dz
En fonction de z : x = (a+b)/2 - (z/R)(a-b)/2 et y = √(R² - z²)

Il est plus commode d'effectuer le changement de variables
z = Rsin(θ), y = Rcos(θ) et alors dz = Rcos(θ)dθ
et la position du centre de gravité est :

z_G = (1/V)∫_-π/2^+π/2[ (a+b)R³cos²(θ)sin(θ) - (a-b)R³cos²(θ)sin²(θ) ]dθ

qui se décompose "naturellement" en deux parties :
la première en ∫cos²(θ)sin(θ)dθ donne le centre de gravité d'un cylindre ordinaire de hauteur (a+b)/2, donc z = 0.
La deuxième donne le centre de gravité cherché :

z_G = -R³(a-b)/V ∫_-π/2^+π/2 cos²(θ)sin²(θ) dθ

Avec les formules sin(2a) = 2sin(a)cos(a) et cos(2b) = 1 - 2sin²(b), on a : cos²(θ)sin²(θ) = (1 - cos(4θ))/8
donc la primitive de cos²(θ)sin²(θ) est θ/8 - sin(4θ)/(4×8)
et l'intégrale entre les bornes -π/2 et +π/2 vaut π/8. Finalement le centre de gravité est :

z_G = -R³(a-b)/V × π/8 = -(R/4)(a-b)/(a+b)

Nota
En remplaçant le z dV par dV, c'est à dire en supprimant un facteur Rsin(θ), on obtient le volume :

V = ∫_-π/2^+π/2[ (a+b)R²cos²(θ) - (a-b)R²cos²(θ)sin(θ) ]dθ

La deuxième partie s'annule (fonction impaire) et reste la première partie en cos²(θ)
La primitive de cos²(θ) = (1 + cos(2θ))/2 est θ/2 + sin(2θ)/4 et l'intégrale entre -π/2 et +π/2 vaut π/2
On retrouve bien le volume V = πR²(a+b)/2, juste pour rassurer sur les calculs d'intégrales...