Carré effacé - solution #2

J'ai tracé un carré sur le sable. Sur chacun de ses côtés j'ai placé une pierre.
Deux jours après, les pierres n'ont pas bougé de place, mais le carré est effacé.
Sauriez vous retrouver le tracé du carré ?

Quelques autres solutions....

Traçons les cercles de diamètre PS et PQ, de centres I et J milieux de PS et PQ.
Ce sont les lieux de A et B.
Ces cercles se recoupent en H, traçons PH.
Traçons une sécante commune APB, et les milieux M et N de AP et PB.
Bien entendu AB = 2*MN = 2*IJ*cos(t). Ceci a pour conséquences :
1) AB est maximale quand t = 0, soit A'B' perpendiculaire à PH.
2) Soit G le point de PH avec PG = 2*IJ. La distance GK de G à AB est égale à AB.
Remarquons que PG = 2*IJ est la valeur maximale de AB = A'B' perpendiculaire à PH.

Ceci donne une construction du carré cherché :
Tracer A'B' _|_ PH, et PG=A'B' sur PH.
Tracer GR et la sécante APB // GR, la distance entre les côtés AB et CD/GR est donc égale à AB.
Le rectangle ABCD est donc bien un carré.

Nota : SQ = 2*IJ = PG, G est donc le même point que celui de la 1ère construction.
De plus, on peut tracer PG = SQ directement sans tracer A'B' : les constructions sont équivallentes.

Et une dernière solution :

Soient (PQ), (QR), (RS), (SP) les demi-cercles de diamètres PQ, QR, RS et SP, extérieurs au quadrilatère PQRS.
A est sur (SP), B sur (PQ), C sur (QR), D sur (RS), APB alignés, et de même BQC, CRD et DSA.
Choisissons un point A quelconque sur (SP), ceci donne un rectangle ABCD en construisant AP qui coupe (PQ) en B, puis BQ coupant (QR) en C et CR coupant (RS) en D.

Le problème est alors de choisir A de sorte que ce rectangle soit un carré.
C'est à dire AB = AP+PB = AD = AS+SD.
Posons t = angle SPA, d = <)PSR, b = <)SPQ
AP = PS.cos(t)
PB = PQ.cos(pi - b - t) = -PQ.cos(b).cos(t) + PQ.sin(b).sin(t)
AS = PS.sin(t)
SD = RS.cos(pi - d -(π/2-t)) = -RS.cos(d).sin(t) + RS.sin(d).cos(t)

PS.cos(t) - PQ.cos(b).cos(t) + PQ.sin(b).sin(t) = PS.sin(t) - RS.cos(d).sin(t) + RS.sin(d).cos(t)
et en divisant par cos(t) :
PS - PQ.cos(b) + PQ.sin(b).tan(t) = PS.tan(t) - RS.cos(d).tan(t) + RS.sin(d)
C'est à dire tan(t) = (PS - PQ.cos(b) - RS.sin(d))/(PS - PQ.sin(b) - RS.cos(d))

Traçons H sur PS avec QH_|_PS, et K sur PS avec RK_|_PS
QH = PQ.sin(b), PH = PQ.cos(b), RK = RS.sin(d), SK = RS.cos(d)
et donc tan(t) = (PS - PH - RK)/(PS - QH - SK)

Traçons L sur PS avec PL = PS - QH - SK = PK - QH
Sur la perpendiculaire à PS en L, traçons LM = PS - PH - RK = SH - RK en direction de (SP).
Alors tan(t) = LM/PL = AS/AP, et donc PMA alignés.
Ceci donne A, et ABCD.