Dans un cube - solutions
Le triangle et l'hexagone mettent en évidence la symétrie par une rotation de
2π/3 d'un cube autour d'une grande diagonale.
Le côté du triangle est bien entendu a√2 (diagonale d'une face)
Le côté de l'hexagone est la moitié a√2 / 2
Nota On peut mettre le plus grand dodécagone dans cet hexagone, 2 sommets par face. côté = a(2√6 - 3 √2)/2
Le tétraèdre est visible à partir du triangle précédent.
Mais aussi l'axe de symétrie du cube passant par les centres de deux faces opposées
est aussi axe de symétie du tétraèdre.
Par conséquent le centre du tétraèdre est le centre du cube.
Ceci permet d'obtenir instantanément la distance du centre d'un tétraèdre aux sommets en fonction de l'arète du tétraèdre :
moitié de la diagonale du cube divisée par diagonale d'une face soit
(√3 / 2) / √2 = √6 / 4
Le plus grand carré devra avoir deux côtés opposés sur deux faces opposées du cube.
On est conduit à la disposition où les sommets sont sur des arètes, à la distance x des sommets.
Un côté sur une face vaut (a - x)√2
Un côté dans le cube vaut d² = x² + a² + x²
et par conséquent
2(a - x)² = 2.a² + 2 x² - 4.a.x = 2.x² + a²,
soit a² = 4.a.x ou :
| x = a / 4
d / a = 3√2 / 4 = 1.060660... |
Le plus grand octaèdre se déduit du plus grand carré,
puisqu'il est formé par 3 carrés formant trièdre.
Plaçons maintenant une sphère de rayon r = d/2 aux sommets de l'octaèdre.
Les 6 sphères sont intérieures à un cube de côté c = a + d.
Cette disposition conduit au plus petit cube englobant 6 sphères unités :
| c = r (2 + 4√2 / 3) = 3.885618... |
| 3 (3 - 2√2) = 0.5147186... |
Autres polyèdres
Inversement on peut inscrire le plus grand cube dans un dodécaèdre donné.Une animation 3D, ainsi que des animations 3D des problèmes précédents : tétraèdre et octaèdre dans le cube.
