Cube dans un dodécaèdre
Les polyèdres inscrits ici sont évidemment les plus grands possibles, puisqu'ils ont tous leurs sommets sur des sommets du polyèdre qui les contient.
Tétraèdre dans un cube
La preuve en est triviale :
Les diagonales des faces du cube sont égales et forment donc des triangles équilatéraux, donc un tétraèdre régulier.
Cube dans un dodécaèdre
L'arète du "cube" est une diagonale du pentagone, face du dodécaèdre. Elles sont bien toutes égales, OK.
Par contre démontrer que les angles sont de 90° n'est pas si simple ...
Sans se lancer dans une vérification rigoureuse, faire pivoter la figure de sorte que l'axe passant par les milieux de deux arêtes opposées du dodécaèdre ne touchant pas le cube soit vu "de bout".
La preuve devient alors visuellement "évidente" par symétrie.
Tétraèdre dans un dodécaèdre
Il suffit d'inscrire un tétraèdre dans un cube lui même inscrit dans le dodécaèdre.Sans commentaires additionnels... le cube intermédiaire est en cyan.
On remarquera toutefois qu'il est possible d'inscrire 2 tétraèdres différents dans un même cube,
et que l'on peut inscrire 5 cubes différents dans un même dodécaèdre, donc finalement 10 tétraèdres différents
dans un même dodécaèdre.
Ceci donne la clé des tétraèdres imbriqués décrits ici (en anglais)
On n'en a que 5 car on veut que leurs arêtes ne se coupent pas, si on choisit les "autres" tétraèdres dans les 5 cubes,
on obtient l'image dans un miroir de la chose...
Une video (assez longue, et en anglais) de la construction
de la bête (deux vidéos à la suite).
Octaèdre dans un cube
Ici il est impossible de placer les sommets de l'octaèdre sur les sommets du cube,
l'octaèdre est donc "de travers" dans le cube.
La preuve du plus grand carré inscrit dans un cube, et donc du plus grand octaèdre,
est vue ici
On montre maintenant juste la même figure sous forme d'applet permettant de la faire tourner dans l'espace.
