Arbelos - solution

L'aire de l'arbelos est égale à celle d'un cercle de diamètre CD :
L'aire d'un demi cercle est πD²/8
L'aire de l'arbelos est alors π(AB² - AC² - BC²)/8 = πAC×BC/4 et comme AC×BC = CD², Aire = πCD²/4 soit l'aire du cercle de diamètre CD.

Montrer que les deux cercles inscrits dans les parties ACD et BCD de l'arbelos sont égaux.
Soit M le centre du cercle de diamètre AB, I le centre du cercle de diamètre AC, P le centre du cercle inscrit dans ACD, PH la hauteur du triangle PMI. Posons AC = 2a et BC = 2b et soit r le rayon du cercle inscrit.
MA = a+b, MI = b, HC = PK = r et donc :
PI = a + r, IH = a - r, MP = a + b - r et MH = b - a + r
Pythagore dans les triangles PHI et PHM donne : PH² = (a + r)² - (a - r)² = (a + b - r)² - (b - a + r)²
Et après simplification : r(a + b) = ab ou encore

1/r = 1/a + 1/b

Cette expression étant symétrique en a et b, les deux cercles inscrits ont même rayon.

En déduire une construction simple de ces cercles.
Soit à construire 1/r = 1/a + 1/b.
Tracer deux rayons issus de C à 60°, coupant les demi cercles en U et V. (nota : CU = a et CV = b)
IV coupe CU en N. 1/CN = 1/CI + 1/CV et donc CN = r. Tracer le cercle de rayon CN, coupant AB en S et T.
La perpendiculaire en S à AB et le cercle de centre I de rayon IT se coupent en P.
De même la perpendiculaire en T à AB et le cercle de centre J de rayon JS se coupent en Q.

Nota :  Comparer avec la construction directe qui utilise une inversion de pôle C conservant le cercle (C) de diamètre AB.

Le cercle (C₁) de diamètre AC est transformé en une perpendiculaire (C'₁) en B à AB, la droite CD est inchangée, et le cercle cherché (Γ) est transformé en un cercle (Γ') tangent à (C) et deux droites parallèles, dont la construction est immédiate : Centre P' intersection de la perpendiculaire en J à AB et du cercle de centre M de rayon MB+BJ, puis le point de contact X' avec (C'₁).

CX' coupe (AC) en X, point de contact de (Γ) avec (C₁).
IX coupe CP' en P, centre du cercle cherché, de rayon PX.
Q s'en déduit puisque le deuxième cercle a même rayon, donc MQ = MP.

Autre propriété

Une autre propriété de l'Arbelos (elles sont nombreuses...)
Le cercle de diamètre CD coupe les cercles de diamètres AB et BC aux points de contact de leur tangente commune. A vous de jouer...     indice

Et aussi cercle inscrit Applet JavaSketchpad