Tétraèdre - détails

Un point intérieur est aux distances 11, 21, 24, 25 des sommets d'un tétraèdre régulier.
Quel est le côté du tétraèdre ?

Considérons le tétraèdre de côté s, les sommets de coordonnées
A=(0, 0, 0), B=(0, s/√2, s/√2), C=(s/√2, 0, s/√2), D=(s/√2, s/√2, 0)
Ses sommets aux sommets du cube de côté s/√2, les arètes sont des diagonales des faces du cube
PA = a, PB = b, PC = c, PD = d les distances de P(x, y, z) aux sommets.

Les carrés des distances de P aux sommets sont :
a² = x² + y² + z²
b² = x² + (y - s/√2)² + (z - s/√2)² = x² + y² + z² + s² - (y + z)s√2 = a² + s² - (y + z)s√2
et deux autres équations similaires en permutant x,y,z :
c² = a² + s² - (x + z)s√2
d² = a² + s² - (x + y)s√2
D'où on tire
2s.x√2 = a² + s² + b² - c² - d²
2s.y√2 = a² + s² - b² + c² - d²
2s.z√2 = a² + s² - b² - c² + d²
Dont la somme des carrés est, compte tenu de x² + y² + z² = a² :
8a²s² = (a² + s² + b² - c² - d²)² + (a² + s² - b² + c² - d²)² + (a² + s² - b² - c² + d²)²
En développant et en simplifiant :
3(a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ + s⁴) = 2∑( u²v² )
soit finalement :

4(s4 + a4 + b4 + c4 + d4) = (s² + a² + b² + c² + d²)²

Ou sous la forme d'une équation en s :

3s4 - 2P.s2 + Q = 0, Avec       P = a² + b² + c² + d²       Q = 4(a4 + b4 + c4 + d4) - P²

Le discriminant est Δ' = P² - 3Q = 4P² - 12(a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴) = 8∑(a²b²) - 8∑a⁴

Avec a=11, b=21, c=24, d=25, P = 1763, Δ' = 1254400 = 1120²
s² = (1763 ± 1120)/3 = {961, 643/3} et donc s = {31, √(643/3)}
La solution s = √(643/3) = 14.640 < b,c,d ne convient pas car P est à l'extèrieur du tétraèdre.

Point intérieur

Reste à trouver un critère pour que P soit intérieur.
Bien entendu si une distance est plus grande que le côté du tétraèdre le point est extèrieur.
Si toutes les distances sont inférieures à la hauteur s√(2/3) = s×0.81649658... le point est forcément intérieur.
Mais entre les deux ?

Une possibilité est d'utiliser la formule de Pierro della Francesca's(En) donnant le volume d'un tétraèdre en fonction de ses arètes.
Le tétraèdre PABC a ainsi pour volume V, après simplifications :
288V² = s²((a²+b²+c²+s²)² - 3(a⁴+b⁴+c⁴+s⁴))
Et de même pour les trois autres tétraèdres PABD, PACD et PBCD
Le point est intérieur si la somme de ces volumes est égal au volume du tétraèdre de côté s : s³√2 / 12, calculs un peu abominables si pas dans un programme.

Solutions entières

La liste complète, obtenue par la force brute, des solutions primitives PGCD(s,a,b,c,d)=1 avec a≤b≤c≤d≤s≤100 :

11, 21, 24, 25, 31 premier
29, 41, 55, 56, 69
31, 31, 45, 56, 59 premier

dégénérée (P sur un côté) :
3, 5, 7, 7, 8
5, 16, 19, 19, 21
7, 8, 13, 13, 15
7, 33, 37, 37, 40
9, 56, 61, 61, 65
11, 24, 31, 31, 35
11, 85, 91, 91, 96
13, 35, 43, 43, 48
16, 39, 49, 49, 55
17, 63, 73, 73, 80
19, 80, 91, 91, 99
32, 45, 67, 67, 77
40, 51, 79, 79, 91

Pas de solutions dégénérées avec P sur une face car le plus petit triangle équilatéral avec des distances entières est 112 (57,65,73). Pas de solution avec P sur une face non plus avec s<500.

Annexe

Liste des solutions primitives avec w≤v≤u≤t≤s<500