Construction en 3D

Un "compas 3D" est constitué d'une droite traçante pivotant autour d'un axe. Ceci permet de "tracer" en général un hyperboloïde de révolution. Il peut dégénérer en un cône si la droite rencontre l'axe, et en un plan si de plus la droite et l'axe sont orthogonales. Si la droite et l'axe sont parallèles, il trace un cylindre.
Les ouvertures de notre compas 3D ne sont pas graduées, il faut donc 4 points pour l'utiliser 2 pour définir l'axe et 2 pour définir la droite traçante. En particulier rien ne permet de règler à priori notre compas sur "axe parallèle à D" ou "axe perpendiculaire à D".
Notre compas n'est pas "collapsing", une fois règlé on peut le déplacer pour tracer un hyperboloïde égal d'axe différent.

Construire le plan passant par trois points ABC donnés

La difficulté est que un plan entier (sans trou) n'est possible que si on connaît deux droites orthogonales concourantes.

Soit M un point arbitraire en dehors du plan, faire tourner la droite AM autour de l'axe AB engendre un cône de sommet A. En gardant le même réglage, on trace le cône d'axe AB et de sommet B. Ces deux cônes se coupent en un cercle dans le plan médiateur de AB. Une sécante quelconque de ce cercle tournant autour de l'axe AB engendre un plan troué (plan médiateur de AB sauf un disque). On construit de même le plan médiateur troué de BC. Leur intersection définit l'axe (x) du cylindre droit circonscrit à ABC. Deux cônes ayant cet axe et passant par A se coupent suivant le cercle circonscrit à ABC, qui coupe le plan médiateur troué de AB en I et J diamètralement opposés sur ce cercle (si le trou est "suffisament petit"). La droite IJ tournant alors autour de l'axe (x) engendre le plan ABC complet.

Le règlage une fois obtenu {axe x, droite IJ} peut être déplacé pour construire n'importe où un plan perpendiculaire à une droite donnée en un point donné.
On trace alors aisément le plan médiateur complet de AB. En construisant deux plans arbitraires passant par A et B, on trace la droite AB, puis le milieu de AB, ainsi qu'un trièdre trirectangle et un repère orthonormé d'unité AB etc...
Toutes les constructions classiques dans un plan arbitraire à la règle et au compas sont ainsi disponibles avec notre seul outil.

Top level

Dupliquer le cube, c'est à dire construire un segment de longueur AB × ³√2
Ceci est impossible à la règle et au compas dans le plan. Ici c'est relativement facile.
Tout d'abord le tracé d'une parabole d'équation y² = 2px (dans le plan xOy) pour p donné, c'est à dire que le foyer est F (p/2, 0) et la directrice x = -p/2.
Traçons dans le plan xOz, où D est la trace de la directrice, le cercle de centre O et de rayon OF=OD et un point M quelconque sur ce cercle.
La perpendiculaire en F à Ox coupe DM en H. La parallèle en H à Ox coupe OM en S. Soit I le milieu de FH.
Alors le cone obtenu par rotation de la droite OS autour de l'axe SI coupe le plan xOy en la parabole de foyer F et de sommet O, d'équation y² = 4 OF.x

La démonstration complète provient du théorème de Dandelin, la sphère bleue étant tangente au cone et au plan xOy.

La duplication du cube s'obtient en traçant ainsi dans le plan xOy deux paraboles, l'une d'équation y² = 2x, l'autre d'équation y = x² (d'axes perpendiculaires, de même sommet O et de paramètres p double l'un de l'autre).
Leur autre point d'intersection est x⁴ = 2x soit x = ³√2.