Triangles - Solutions

Construire un triangle ABC connaissant ...

Un sommet A, l'orthocentre H et le centre du cercle circonscrit O

Rappelons : Le symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté est sur le cercle circonscrit.
Ceci fournit une solution particulièrement simple :

Tracer le cercle circonscrit (de centre O, passant par A !)
La droite AH coupe ce cercle en M
BC est la médiatrice de HM

pour O et A fixés, H doit se trouver dans le disque de centre A et de rayon 2AO

Inversement A et H étant fixés, O doit être à l'extérieur du disque de centre A de rayon AH/2 (figure ci-dessous)
O et H fixés, A doit se trouver à l'extérieur du disque MH=2MO (dernière figure)

D'autres constructions, utilisant le cercle d'Euler (cercle dit des neuf points) par exemple.

Son centre est le milieu E de OH, son rayon la moitié de celui du cercle circonscrit, et il passe entre autres par le pied F de la hauteur AH et le milieu de AH :
Construire le cercle d'Euler (centre E, rayon OA/2), il coupe AH en F autre que le milieu de AH
La perpendiculaire en F à AH est le côté BC.

Enfin une dernière construction, n'utilisant que le compas.
La propriété caractéristique est que les cercles circonscrits aux triangles AHB, BHC, AHC et ABC ont même rayon.

Tracer les cercles de centre A et H et de rayon R=OA, ils se coupent en I et J.
Les cercles de centre I et J et de rayon R coupent le cercle circonscrit (de rayon R) en B et C.
On n'a utilisé qu'une seule ouverture de compas ! Comme dirait Mascheroni "un seul compas".