Cercle de Miquel

Etant donné un triangle abc (quelconque), 3 points alignés X,Y,Z et un point P,
construire un triangle ABC semblable à abc, dont les côtés BC, AC et AB passent respectivement par X,Y et Z et dont le cercle circonscrit passe par P.

Considérons un triangle ABC dont les côtés passent par X,Y,Z.
Alors les cercles circonscrits à ABC, CXY, BXZ et AYZ passent par un point commun M : le point de Miquel du "quadrilatère complet" ABCXYZ.
De plus les centres de ces 4 cercles sont cocycliques sur le cercle de Miquel de ce quadrilatère.
Enfin, le point de Miquel est situé sur le cercle de Miquel.
Sans démontrer ici toutes ces propriétés, nous allons les utiliser pour construire le triangle ABC cherché.

Ignorons dans un premier temps la contrainte du point P, et considérons l'ensemble de tous les triangles ABC semblables, BCX, ACY, ABZ alignés.
Tout d'abord, ABC étant semblable au triangle abc donné, l'angle YAZ est constant et donc A est sur le cercle d'où on voit YZ sous l'angle A donné (modulo π).
En d'autre termes le cercle circonscrit à AYZ est un cercle fixe. De même pour les cercles circonscrits à BXZ et CXZ.
Le point et le cercle de Miquel sont donc fixes.

 Le cercle circonscrit au triangle ABC passe par un point fixe M, 
 son centre est sur un cercle fixe 

Le problème revient alors à construire un cercle (le cercle circonscrit à ABC) centré sur un cercle donné (le cercle de Miquel),
et passant par deux points donnés M et P, ce qui est trivial :
son centre est l'intersection du cercle de Miquel et de la médiatrice de MP.
Le cercle circonscrit à ABC ainsi construit, les points A,B,C sont les intersections de ce cercle avec les cercles des arcs capables
(les cercles d'où on voit XY, XZ et YZ sous les angles C, B et A modulo π).

La construction complète de ABC à partir des données s'en déduit :
Construire un triangle semblable à abc sur le segment XY (UXY semblable à cba)
Construire le cercle circonscrit (Cc) à UXY, de centre Oc.
La perpendiculaire à UY en Y coupe la médiatrice de YZ en Oa, et le cercle (Ca) de centre Oa passe par Y.
Ces cercles se coupent en M, autre que Y (point de Miquel).
Construire le cercle circonscrit à OaOcM (cercle de Miquel).
La médiatrice de PM coupe le cercle de Miquel en O (0, 1 ou 2 solutions).
Le cercle de centre O passant par M (cercle circonscrit à ABC) coupe les cercles (Ca) en A, et (Cc) en C, autres que M.
B est obtenu comme intersection de AY et CZ.

Une applet effectuant cette construction :
Le triangle abc est donné en fait directement comme triangle UXY semblable construit sur XY.
Le point C déplaçable (dans l'applet !) sur le cercle circonscrit à UXY engendre un triangle ABC semblable.

Fichier Geogebra

Le domaine où P doit se trouver pour qu'il existe une solution est une cardioïde.
(lieu des symétriques de M par rapport aux tangentes au cercle de Miquel).
Cette cardioïde est tangente aux 4 cercles circonscrits (indice : observer U).

 

Accueil Arithmétiques Géométrique Divers Thèmes Scripts Jeux Exercices Précédent Suivant Parent