Broutage

(Inspiré par le 'problème du mois' de Missouri State University)

Une chèvre attachée au piquet par une corde de longueur L = 10m, on place un mur de hauteur h = 2m entre la chèvre et le piquet, le piquet est à la distance d = 1m du pied du mur. (le problème d'origine est avec d = 0)

Les dessins représentent simultanément la vue de dessus et le mur vu "de bout".
Le plan du pré xOy et le plan vertical yOz passant par le piquet P et perpendiculaire au mur sont ainsi superposés sur le même dessin.
Le mur est dans le plan vertical xOz, sa trace sur le plan de face xOy est le segment OH.
Vu de dessus il se confond avec l'axe Ox.
L'ambiguïté de la position d'un point sur ce dessin (dans quel plan ? en dehors ?) sera levée au fur et à mesure.
Nota : la géométrie descriptive de Monge lève cette ambiguïté en représentant un point M systématiquement par deux images m et m', projections sur le plan horizontal et de face, ici sur les plans xOy et yOz, la ligne de terre choisie étant Oy.
Ici aussi, les points sur la figure seront en fait les projections, sans formalisme excessif, des points réels sur les plans xOy ou yOz.

Lemme

Etant donné la position C de la chèvre, déterminer (construire) la corde la plus courte possible la reliant au piquet.

Soit S le point où la corde franchit le mur.
Bien évidemment PS et SC sont des segments de droite (direct dans l'air), et il s'agit de déterminer S pour que PS + SC soit minimal.
Soit (d) le sommet du mur. S est sur (d) et une rotation d'axe (d) transforme SC en un segment égal SD
D est ainsi sur un cercle dans le plan vertical passant par C et perpendiculaire au mur, et ainsi de centre la trace de (d) sur ce plan, soit projeté sur yOz le point H.
Soit (π) le plan défini par P et (d), plan passant par le piquet et le sommet du mur.
La trace de ce plan (π) sur le plan yOz est la droite PH.
Choisissons comme point D l'intersection de ce plan (π) et du cercle précédent.
D est indépendant de S (il ne dépend que de P, C et du mur)
P, S et D sont dans le même plan (π)
PS + SC = PS + SD sera ainsi minimum quand P, S, D dans (π) seront alignés.
Ceci définit ainsi la position de S dans (π). La projection sur le plan xOy permet de construire S sur la figure.

Construction du lieu de C

On peut inversement, pour L donné, construire la position de la chèvre la plus éloignée du mur, sur une perpendiculaire au mur, c'est à dire la plus grande valeur de y = MC pour un x = OM donné.
Le point D défini comme ci dessus (rotation de C autour de (d)) dans le plan (π) est ainsi construit comme intersection :
- du plan (π) passant par P et le sommet du mur
- du plan (μ) vertical passant par M et perpendiculaire au mur
- de la sphère de centre P et de rayon L
Reste à appliquer pratiquement cette construction sur l'épure...
Dans l'applet P, L et H déplaçables définissent d, L et h. N définit le point courant.

L'intersection du plan horizontal avec la sphère de rayon L est facile à tracer en vraie grandeur :
le plan horizontal est bien entendu vu en vraie grandeur, et le centre de la sphère est dans ce plan.
C'est donc un cercle de centre P, de rayon L.
Ce cercle coupe le plan vertical (μ) en N, sur la sphère.
Passons maintenant en vue de côté, c'est à dire en projection sur le plan yOz. M vient en O et N en N' sur Oy
La trace de la sphère de rayon L sur le plan (μ) est donc projetée en vraie grandeur en un cercle de centre P passant par N'
Comme la trace de (π) sur ce même plan (μ) est la droite PH, le point D est ainsi déterminé en projection D' sur yOz : intersection de PH et du cercle (P, N')
En vraie grandeur sur (yOz) le point C' est alors obtenu avec HD' = HC'
Enfin C' est projeté en C sur (μ) en vue de dessus.

Le point de passage S au sommet du mur et la vue de dessus de la corde sont alors construits :
D' est renvoyé en D sur le plan (μ) en vue de dessus.
La droite PD dans le plan π est alors tracée en projection sur xOy, et son intersection S avec le mur.
Le reste de la corde est bien entendu le segment SC.
On notera particulièrement que la vue de dessus de la corde n'est pas une droite !
Ceci est assez évident en considérant la position extrème de la chèvre le long du mur :
La corde longe le mur jusqu'au point intermédiaire S avant de le franchir et d'aller au piquet.

Bornes

Les bornes pour x = OM sont définies en effectuant la construction précédente à l'envers : Pour que C' existe, il est nécessaire que HD' ≥ h
Cette valeur limite donne ainsi le point N' limite, et donc par projection sur le cercle de rayon L, le point N limite et ainsi M limite M1, M2
Le cas particulier x = 0 donne la construction de Co, éloignement maximum de la chèvre.

cas d = 0

La construction précédente est valable y compris pour d = 0, sauf pour la construction du point S car alors l'intersection de PD et (d) n'est pas définie sur la vue de dessus : les deux projections sont confondues
On remplace alors par la vue de face, c'est à dire par projection sur le plan xOz. Sur cette vue P est projeté en O et D en D" (MD" = ID').
L'intersection de PD" avec le sommet du mur z = h donne S", qui est alors renvoyé en S.

Calculs

L'aire broutée par la chèvre n'est pas aisément calculable par les constructions ci-dessus
La frontière n'est de toute façon pas une ellipse.
L'approximation par une 1/2 ellipse de grand axe M1M2 est à quelques % par excès. (dans l'applet, l'ellipse est en noir).

A partir de l'épure précédente, le point D réel (en 3D) ayant pour coordonnées (x, u, z), on a :
z = ID' = OH.PI/PO = h(d + u)/d
FD² = L² = x² + (d + u)² + z² = x² + (d + u)²(1 + h²/d²)
On en tire (d + u)² = (L² - x²)/(1 + h²/d²) et donc
u = √(L² - x²)/(1 + h²/d²) - d

Sur l'épure, en vraie grandeur HC'² = OH² + OC'² = h² + y²
Enfin, HC' = HD' = HP.OI/PO, soit HC'² = (d² + h²)u²/d²
Ceci donne une relation "relativement simple" donnant y²
y² = (d² + h²)(√(L² - x²)/(d² + h²) - 1)² - h², et après simplification :

y² = L² - x² + d² - 2√(L² - x²)(d² + h²)

Le calcul précédent n'est théoriquement pas valable pour d = 0, mais quand d → 0 elle devient :

y² = L² - x² - 2h√L² - x²

qui est tout de même la formule exacte pour d = 0, comme un calcul direct(*) pourrait le vérifier. (en recommençant les calculs dans le plan xOz au lieu du plan yOz).

y = 0 pour x = X_max et y = Y_max pour x = 0 donnent après simplification :

Xmax² = L² - d² - 2h² - 2h√d² + h² Ymax² = L² + d² - 2L√d² + h²

Ce qui donne les valeurs pour l'aire de l'ellipse approchée :

d = 0 : X_max = √84 ≈ 9.17 et Y_max = √60 ≈ 7.75, soit S = πXY/2 = π√1260 ≈ 111.5

d = 1 : X_max ≈ 9.06, Y_max ≈ 7.5 et S ≈ 106.74

La valeur exacte est l'intégrale ∫y dx entre les bornes -X_max et +X_max.
Le programme 'Maxima' donne alors la valeur approchée de cette intégrale :

Pour d = 0 :

109.0238772341 ± 10-10

(à comparer avec la demi-ellipse 111.5)

et pour d = 1 :

104.1629076596 ± 10-10

(à comparer avec la demi-ellipse 106.7)

Les commandes pour Maxima sont respectivement :

f(x) := (100 - x^2 - 4*(100 - x^2)^(1/2))^(1/2); quad_qag(f, x, -(84^(1/2)), 84^(1/2), 3, 1e-12);

et :

f(x) := (101 - x^2 - 2*(500 - 5*x^2)^(1/2))^(1/2); a : (91 - 4*(5)^(1/2))^(1/2) - 1e-12; quad_qag(f, x, -a, a, 3, 1e-12);

nota : un bug dans Maxima ??
quad_qag(f, x, 0, (91 - 4*(5)^(1/2))^(1/2), 3, 1e-12); donne 0 !!!
si on diminue la borne supérieure de ε c'est bon.
(ε au delà du domaine de définition de f plante le calcul)

Cas d = 0

Les calculs directs pour le cas d = 0 :
Dans le plan xOz, le point D (x, 0, z) donne
L² = x² + z², soit z = √L² - x²
En appelant u l'abscisse de S : SD = OD.(x - u)/x = OD.(z - h)/z,    d'où SD = L(1 - h/z)   et x - u = x(1 - h/z)
Et finalement (x - u)² + y² + h² = SC² = SD², soit
x²(1 - h/z)² + y² + h² = L²(1 - h/z)², ou y² = L²(1 - h/√L² - x² )² - x²(1 - h/√L² - x² )² - h²
Ce qui après simplification donne bien y² = L² - x² - 2h√L² - x²