Deux cercles inscrits tangents
Partager un triangle en deux triangles de façon que les cercles inscrits dans les deux morceaux soient aussi tangents entre eux.C'est à dire que les points de contacts des cercles avec le côté AM des triangles ABM et ACM sont confondus en T.
Dans le triangle ABM : AT = (AB + AM - BM)/2 (formule classique donnant les points de contact du cercle inscrit)
Dans le triangle ACM : AT = (AC + AM - CM)/2
Par soustraction on obtient
AB - BM = AC - CM et comme BM + CM = BC, on en tire :
AB - (BC - CM) = AC - CM ou encore CM = (AC + BC - AB)/2
En d'autres termes M est le point de contact du cercle inscrit dans ABC
La construction est alors immédiate :
Les bisectrices des angles B et C se coupent en I, centre du cercle inscrit dans ABC
I se projette en M sur BC, point de contact avec le cercle inscrit dans ABC
Les bisectrices des angles en M donnent Jb et Jc
T est l'intersection de AM et de JbJc, et donne ainsi les cercles (Jb) et (Jc)
Les cercles de centres A et M passant par T donnent les points de contact des cercles (Jb) et (Jc)
avec AB, AC et BC
Trois cercles inscrits tangents
Partager un triangle en trois triangles de façon que les cercles inscrits dans les trois morceaux soient aussi tangents entre eux.
Là aussi, les points de contact avec AP des cercles inscrits dans PAB et PAC sont confondus en T.
Et YZ est perpendiculaire à AP en T.
L'égalité des tangentes issues de A donne ETF sur un même cercle de centre A, ce cercle étant tangent en T à YZ.
De même en B et C
Ces 3 cercles de centres A, B, C sont bien entendus tangents entre eux en D, E et F.
La sommation des longueurs AE = AF, BF = BD, CD = CE sur le périmètre de ABC donne alors
AE = AF = (AB + AC - BC)/2 prouvant que E et F sont les points de contacts avec le cercle inscrit dans ABC
| Les points de contact D, E, F des cercles cherchés sont les points de contact du cercle inscrit |
L'égalité des tangentes issues de P montre alors que T,U,V sont sur un même cercle de centre P
De plus (ligne des centres) ce cercle de centre P est tangent aux cercles de centres A, B, C en T, U, V
On reconnait alors la configuration de Soddy et la définition même du cercle de Soddy "intérieur"
(de centre P) et du point de Soddy P.
| P est le point de Soddy (intérieur) de ABC |
De lui avoir ainsi donné un nom n'en donne pas encore la construction !!
Par exemple considérons l'inversion de centre D conservant E inchangé (de puissance DE² donc)
Cette inversion transforme le cercle inscrit en la parallèle à BC en E (car ID est perpendiculaire à BC)
Le cercle de centre Y, tangent en E au cercle inscrit, est transformé en un cercle tangent en E à cette parallèle.
Le point F est transformé en le point F', intersection du rayon polaire DF avec la parallèle.
Le cercle (Z) est alors transformé en un cercle tangent en F' à la parallèle EF'
Le cercle (X) est transformé en une droite parallèle à BC, donc à EF', et tangente aux deux
cercles images (Y') et (Z')
Ces deux cercles ont donc le même rayon et sont ainsi construits facilement :
il suffit de complèter le carré EF'U'V' à partir du côte EF'
Les centres Y' et Z' sont alors ramené par les rayons polaires issus de D en les centres des cercles
cherchés Y et Z, par simple intersection avec IE et IF.
Le troisième cercle est obtenu par ses points de contact avec les deux autres :
par exemple avec U symétrique de F par rapport à la droite BZ (ou par intersection du cercle (Z) avec le cercle (B),
ou par intersection du cercle (Z) avec le rayon polaire DU').
L'intersection de ZU et VY (et DI !) donne son centre X.
On complète la figure avec les droites AT, BU et CV et leur intersection P
Il y a bien d'autres constructions du point de Soddy, mais celle-ci nous donne directement en prime les cercles cherchés.
