Les astronautes - solution

Sept astronautes explorent un astéroïde, de forme sphérique.
L'astronaute A marche 30 km dans une direction, tourne de 90 degrés vers sa gauche marche de nouveau 30 km dans la nouvelle direction, puis tourne de nouveau de 90 degrés à gauche et marche de nouveau 30 km dans cette direction.
L'astronaute B fait exactement pareil sauf que chaque portion de son trajet est de 40 km
(i.e. 40 km, tourne à gauche, 40 km, tourne à gauche, 40 km).
Les astronautes C, D, E, F, G font aussi la même chose sauf que chaque portion de leur trajet est de respectivement 50 km, 60 km, 70 km, 80 km and 90 km.
Tous les astronautes partent dans des directions différentes et se retrouvent au même endroit sauf l'un d'eux.

Tout d'abord puisque les directions de départ de chaque astronaute ne sont pas spécifiées explicitement, le point d'arrivée commun est indépendant de ces directions.
Par symétrie et par convention, on peut dire que le point de départ est le "pôle Nord" de l'astéroïde. La seule possibilité est alors que les astronautes reviennent à leur point de départ ou arrivent au "pôle Sud". Sauf l'un d'entre eux qui a le droit d'arriver n'importe où.

Examinons le trajet d'un astronaute : Il part plein Sud sur un méridien quelconque. Au bout de X km sur ce méridien il "tourne à gauche". Tout dépend alors de l'endroit où il se trouve :

1. Avant l'équateur
   Plusieurs possibilités s'offrent à lui pour son trajet à 90° :
    - Il suit un parallèle (reste "plein Est", loxodromie) pendant les X km suivants,
   il reviendra alors "automatiquement" au pôle Nord après le deuxième virage.
    - Il suit un arc de grand cercle (une "ligne droite" sur la sphère, orthodromie),
   se rapproche de l'équateur, le franchit éventuellement en direction des antipodes de son virage. Son deuxième virage ne le ramènera pas à son point de départ mais "n'importe où" : Il suffit pour s'en convaincre de prendre un nouveau repère dans lequel le segment intermédiaire est "l'équateur".
   Bien sûr tous les cercles d'axe dans le plan N-S-P font aussi l'affaire, mais il termine aussi n'importe où.
2. Sur l'équateur, les deux possibilités sont alors identiques et il terminera toujours son périple au pôle Nord.
3. Après l'équateur, le trajet est semblable au cas 1) si ce n'est que sa trajectoire se recoupe.
4. Au pôle Sud
   Son premier virage lui fait suivre un second méridien et le ramène au pôle Nord où il effectue son second virage.
   Il termine son périple au pôle Sud.
5. Après le pôle Sud, symétrique des cas 1) à 3) mais il part vers l'Ouest, le trajet se termine au pôle Nord ou n'importe où.
6. Il a fait un tour complet et est déja au pôle Nord.
   Il suit alors un autre méridien qui le ramène au pôle Nord où il effectue son second virage et son périple se termine au pôle Nord.

7. ... et bien sûr idem 1) à 6) s'il fait plus d'un tour.

Conclusion :

1. Si les astronautes suivent des arcs de grands cercles "en ligne droite", ils n'ont le droit de tourner qu'aux pôles et à l'équateur pour se retrouver tous au point de départ, sauf un qui effectue son premier virage ailleurs.
   Tous les astronautes dont le segment de trajet fait N fois la circonférence ou N ± 1/4 fois la circonférence se retrouvent au point de départ.
   Ceux dont le segment de trajet fait N + 1/2 fois la circonférence se retrouvent aux antipodes.
   Les autres se retrouvent n'importe où.
   C'est à dire en appelant d le quart de circonférence : 4n*d et (4n ± 1)*d se retrouvent au point de départ,
   (4n + 2)*d se retrouvent aux antipodes.
   Avec les données de l'énoncé d est donc un diviseur de 10km, PGCD de tous les trajets sauf un : p*d=10
   Examinons chacun des trajets :

   A : 30 = 3p*d = (4p - p)*d
   B : 40 = 4p*d se retrouve au point de départ
   C : 50 = 5p*d = (4p + p)*d
   D : 60 = 6p*d = (4p + 2p)*d
   E : 70 = 7p*d = (4*(2p) - p)*d
   F : 80 = 8p*d = 4*(2p)*d se retrouve au point de départ
   G : 90 = 9p*d = (4*(2p) + p)*d

   Les astronautes B et F se retrouvent ensemble au point de départ quel que soit p.
   Si p était de la forme 4q + 2 Les astronautes A,C,E et G se retrouveraient tous aux antipodes et B,D,F au point de départ.
   Donc p n'est pas de la forme 4q + 2 et tous les astronautes se retrouvent au point de départ, sauf D aux antipodes.

   Le quart de circonférence est d = 10/(4n) ou 10/(4n ± 1)
   La plus grande valeur est de 10km soit une circonférence de 40km.
   Mais l'astéroïde peut être plus petit, par exemple 4*10/5 = 8km de circonférence, ou 4*10/3 = 13.33...km
   ou même 1km = 4* 10/40, mais pas 4km = 4* 10/10 qui est de la forme 4* 10/(4n + 2).
   Si p ≠ 1, tous les astronautes font plus d'un tour.
   Si p = 1, seul A ne repasse à son point de départ qu'une seule fois.

2. S'ils suivent des parallèles (cap "plein Est" constant), seul l'égaré fait son premier virage au pôle Sud.
   Les autres ont le droit de tourner n'importe où ailleurs.
   L'astronaute A ne peut pas être l'égaré, car l'astronaute G serait avec lui. Sinon n'importe quel autre peut être l'égaré, avec un trajet d'une demi-circonférence. La question posée est alors insoluble, ou plus exactement admet comme réponse "n'importe lequel sauf A" et "l'astéroide fait 2*80 = 180km de circonférence (si G est l'égaré) ou 120km (F) ou 140km (E) ou 120km (D) ou 100km (C) ou 80km (B)".
   L'égaré peut aussi faire plusieurs tours mais alors d'autres possibilités sont interdites :
   Egaré = G, 1 tour 1/2 car alors A serait avec lui
   Egaré = C, 2 tours 1/2 car alors A, E et G seraient avec lui
   ...

Pour répondre correctement au problème, les astronautes ont donc suivi des arcs de grands cercles (en fait méridiens et équateur).