Hexaèdres - solution

Combien d'hexaèdres différents ?

Comme il y a 6 faces seulement, une face comporte forcément 3, 4 ou 5 côtés, et autant de sommets. Chaque arête est partagé entre deux faces, un sommet est partagé entre 3, 4 ou 5 faces.
La formule d'Euler S + F = A + 2 donne, en énumérant toutes les possibilités, la liste complète des configurations de faces, et les seuls hexaèdres.

On notera que seuls le cube et le double tétraèdre peuvent être composés de faces identiques : six carrés ou six triangles équilatéraux. Seul le cube est "régulier", c'est à dire que tous les sommets sont aussi identiques. Le double tétraèdre a ses sommets "équatoriaux" (4 arêtes) différents des "pôles" (3 arêtes).

Noter aussi que l'hexaèdre 7 est le plus petit example d'un polyèdre "chiral" c'est à dire qu'il ne peut être sa propre image dans un miroir. Tous les autres peuvent être déformés pour avoir un plan de symétrie.

Il y a aussi des hexaèdres non convexes.
On peut les obtenir en "poussant" vers l'intérieur des sommets des hexaèdres convexes.
Par exemple : (chacune des 6 faces est un quadrilatère)