33cl - solution
Un récipient carréOn dispose d'un bol (vide)et d'un récipient de 1 litre en forme de prisme à base carrée, plein à ras bord. Obtenir 1/3 de litre dans le bol.
On peut bien sûr vider à moitié, il y a même deux façons de le faire :
On peut aussi vider d'avantage.
Il reste une pyramide à base triangulaire = B/2, de hauteur H
et donc de volume = 1/3 x B/2 x H = V/6
Pour obtenir 1/3 :
Vider à moitié et jeter, reste 1/2.
Verser dans le bol une partie de ce qui reste telle que le reste soit 1/6.
On a donc versé 1/2 - 1/6 = 1/3 dans le bol.
Un prisme hexagonal
Mêmes données, mais la mesure est en forme de prisme hexagonal.
Il y a encore deux façons de vider à moitié :
On peut aussi vider un peu plus :
Ce volume est décomposé en un volume de 1/2 x 2B/3 x 2H/3 = 2V/9,
un prisme de B/6 x 2H/3 = V/9,
une pyramide de 1/3 x B/6 x H/3 = V/54
Soit au total 19V/54
Et encore plus :
soit 1/2 x B/3 x H = V/6 (prisme couché)
et 2x 1/3 x B/12 x H = V/18(les deux pyramides)
pour un total de 2V/9
Et enfin :
soit une pryramide 1/3 x B/6 x H = V/18 On peut ainsi obtenir N x V/54 par des transvasements judicieux.
Le plus rapide pour obtenir 1/3 dans le bol est :
garder 2/9 = 4/18 , verser les 7/9 = 14/18 en trop dans le bol.
garder 1/18 et jeter ce qui est en trop (3/18 = 1/6)
reverser le bol dans le récipient = 15/18
garder 1/2 = 9/18, verser le trop plein dans le bol 6/18 = 1/3
un tronc de cône
Il faut tout d'abord calculer le volume du "tronc de cône tronqué".
Nous appellerons R le rayon de la base, r le rayon du sommet, posons m=r/R, et h la hauteur du tronc de cône.
La hauteur du cône complet est alors H = OM = h.R/(R-r) = h/(1-m)
et son volume πR²H/3 = πR²h / 3(1-m)
Le tronc de cône : volume = cône OAB - cône OCD = πR²H/3 - πr²(H-h)/3.
V = π(R²+rR+r²)h/3 = πR²h(1+m+m²)/3 = πR²h/3 (1-m³)/(1-m)
Le tronc de cône tronqué : volume = cône OAB - cône OAC.
Ce dernier est de hauteur OH, de base l'ellipse intersection du cône et du plan AC.
Son volume est πa.b.OH/3 avec a et b les demi-axes de l'ellipse.
Reste donc à calculer a, b et OH.
a = AQ = AC/2 et donc 4a² = (R+r)² + h²
b = Q'R' (sur la vue de dessus), O'R' = (R-r)/2, O'Q' = (R+r)/2
et donc b² = (R+r)²/4 - (R-r)²/4 = rR,
soit b = R√m
Les triangles OHP, AMP, CKP, CIB sont semblables
OH/OP = CK/CP = AM/AP = (CK+AM)/(CP+AP) = (R+r)/2a
OP = OK + KP et comme KP/KC = PM/AM = h/(R+r),
OP = H - h + r.h/(R+r) = h.r(1/(R-r) + 1/(R+r)) = 2R.r.h/(R²-r²)
Et OH = (R+r)/2a × 2R.r.h/(R²-r²) = R.r.h / a(R-r) = R.h.m / a(1-m)
Finalement le volume du cône OAC est πa.b.OH/3 = πR²h/3 × m3/2/(1-m) et le volume du tronc de cône tronqué :
πR²h / 3(1-m) - πR²h/3 × m3/2/(1-m) = πR²h/3 × (1-m3/2)/(1-m) = πR²h/3 × (1+m+√m)/(1+√m)
C'est à dire la fraction (1-m3/2)/(1-m³) du tronc de cône
Ceci dans notre problème correspond à la fraction de liquide versée.
La fraction de liquide restant dans le gobelet (en vert) est
1 - (1-m3/2)/(1-m³) = (m3/2-m³)/(1-m³)
Chercher un énoncé avec (1-m3/2)/(1-m³) = p/q, p et q premiers entre eux.
q(1-m3/2) = p(1-m³) soit
(q-p+p*m³)² = q²*m³ et en posant u = m³ :
p²u² + (2p(q-p) - q²)u + (q-p)²
Une solution est u = 1, l'autre est (q-p)²/p² = (q/p - 1)² et donc
m = (q/p - 1)2/3
m = (a/b)² est lui même rationnel, a et b premiers entre eux, si p = b³, q = a³ + b³
Les valeurs simples suivantes sont à prendre en considération :
| m = (a/b)² | verse p/q | reste 1 - p/q |
| 1/4 | 8/9 | 1/9 |
| 1/9 | 27/28 | 1/28 |
| 4/9 | 27/35 | 8/35 |
| 1/16 | 64/65 | 1/65 |
| 9/16 | 64/91 | 27/91 |
| 1/25 | 125/126 | 1/126 |
| 4/25 | 125/133 | 8/133 |
| 9/25 | 125/152 | 27/152 |
| 16/25 | 125/189 | 64/189 |
Un gobelet de 1 litre, ouverture 10cm, fond 64mm de diamètre, on jette 125/189, reste 64/189 que l'on verse dans le bol.
Nota 1 : la hauteur est h = 12*25*V / 61*pi*D² = 15.65... cm
Nota 2 : pour avoir exactement 1/3 restant, il faut m = 0.62996... Une approximation meilleure est donc avec 63mm de fond. Il reste 0.333354...
