Points à distances différentes

On place n points sur le plan, ceci détermine C_n² = n(n-1)/2 distances.
Cas où ces distances ne prennent que deux valeurs distinctes.

4 points

Il y a 6 distances, ces distances se répartissent alors en 5+1, 4+2 ou 3+3.
On s'intéresse alors aux graphes composés de 5 arêtes, 4 arêtes ou 3 arêtes, ayant au plus 4 sommets, nous donnant une base pour le sous graphe formé de la première longueur a d'arête.
Ces graphes ayant au moins 3 sommets (≥3 arêtes), il est aisé d'en dresser la liste exhaustive.

1. 3 Sommets 3 arêtes = un triangle équilatéral (1)
2. 4 sommets 3 arêtes = 4 points en ligne (2a), ou en étoile (2b)
3. 4 sommets 4 arêtes = un triangle équilatéral et un segment (3a), ou un losange (3b)
4. 4 sommets 5 arêtes = deux triangle équilatéraux (4)

On complète alors les arêtes manquantes, toutes de même longueur b, au besoin en déformant le graphe s'il est déformable (losange, ligne ...)

Le graphe 1 ne se complète que d'une seule façon possible : le 4ème sommet équidistant des 3 autres, donc au centre du triangle. On remarque que cette solution est identique à celle obtenue à partir de 2b, en échangeant les deux valeurs.

2a nécessite de plier la ligne rouge soit en "chaise" soit en "bateau" (cis ou trans).
La configuration trans est impossible : les deux côtés bleus opposés étant égaux, on est en présence d'un parallélogramme. La diagonale bleue est alors toujours plus longue que les côtés bleus.
La configuration cis est forcément symétrique (triangles égaux). BAD = CDA = x et CBA = BCD = x+y
Les triangles isocèles donnent ACD = CDA = x et BAC = BCA = y.
Dans le triangle ABC : x + 3y = π
Dans le triangle ACD : 3x - y = π
En éliminant y entre ces deux équations : 10x = 4π soit x = 2π/5
Le quadrilatère est donc formé de 4 des sommets d'un pentagone régulier.

 

3a conduit à deux configurations possibles. Bien entendu le point libre est sur la bisectrice de l'angle (équidistant des points de base), du côté de la base ou du côté opposé.

 

3b se complète avec les deux diagonales, qui étant égales imposent un véritable carré (et pas seulement un losange).

4 se complète avec une seule distance b.

Il y a donc 6 solutions 1 = 2b, 2a cis, 3a+, 3a-, 3b, 4.

Rapport des distances

Les rapports de distances sont soit trivialement obtenus (diagonale d'un carré par exemple) soit par l'application du théorème de Pythagore sur des triangles judicieusement choisis.

1 = 2b	2/3 hauteur d'un triangle équilatéral	√3
2a cis	diagonale d'un pentagone, nombre d'or	(1 + √5)/2
3a+	hauteur d'un triangle équilatéral + Pythagore  √1/4 + (1 + √3 /2)²	1/2√5 + √3
3a-	idem  √1/4 + (1 - √3 /2)²	1/2√5 - √3
3b	diagonale d'un carré	√2
4	2× hauteur d'un triangle équilatéral	√3

5 points

Soit 10 arêtes. Il semble plus difficile de recenser les graphes à 9,8,7,6,5 arêtes ayant au plus 5 sommets (donc 4 ou 5 sommets).
En fait les sous graphes à 4 sommets sont éliminés : il est impossible d'avoir un graphe à 4 sommets et 6 arêtes identiques dans un plan. Il ne peut pas y avoir plus de 6 arêtes avec 4 sommets.
Enfin le seul cas digne d'intérêt (2 triangles équilatéraux, 4 sommets 5 arêtes) ne permet pas de placer le 5ème sommet :
il devrait être à la fois au centre de chacun des 2 triangles !
Reste donc uniquement les sous graphes à 5 sommets.