Pavages

On peut paver le plan avec des polygones réguliers identiques uniquement si ce sont des triangles, des carrés ou des hexagones.
Il est impossible de paver le plan avec des pentagones réguliers.
Par contre le pavage avec des pentagones irréguliers est parfois possible, selon la forme de ces pentagones.
Il n'est pas difficile de paver le plan avec des triangles quelconques, ou des quadrilatères quelconques.
Dans le cas des pentagones, il faut une condition particulière sur les angles et les côtés.

Triangles quelconques

   Solution

Quadrilatères quelconques

   Solution

Pentagones irréguliers

Il y a 14 formes connues de pentagones irréguliers convexes pouvant paver le plan :
  1. D + E = 180°
  2. C + E = 180°, a = d
  3. A = C = D = 120°, a = b, d = c + e
  4. A = C = 90°, a = b, c = d
  5. C = 2A = 120°, a = b, c = d
  6. C + E = 180°, A = 2C, a = b = e, c = d
  7. 2B + C = 360°, 2D + A = 360°, a = b = c = d
  8. 2A + B = 360°, 2D + C = 360°, a = b = c = d
  9. 2E + B = 360°, 2D + C = 360°, a = b = c = d
  10. E = 90°, A + D = 180°, 2B - D = 180°, 2C + D = 360°, a = e = b + d
  11. A = 90°, C + E = 180°, 2B + C = 360°, d = e = 2a + c
  12. A = 90°, C + E = 180°, 2B + C = 360°, 2a = c + e = d
  13. A = C = 90°, 2B = 2E = 360° - D, c = d, 2c = e
  14. D = π/2, 2E + A = 2π, C + A = π, 2a = 2d = b = c
Construire ces pentagones et paver le plan avec. (rappel : la somme des angles d'un pentagone est 540°)
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Pavages avec des pentagones concaves ? Détails

Hexagones irréguliers

Même question (plus facile) avec les trois formes d'hexagones irréguliers
  1. A + B + C = 360°, a = d
  2. A + B + D = 360°, a = d et c = e
  3. A = C = E = 120°, a = b, c = d et e = f

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