Pavages

Pavages avec des hexagones irréguliers.

On connaît 3 pavages avec des hexagones irréguliers

Notons A,B,C,D,E,F les sommets et angles de l'hexagone, et les côtés par FA = a, AB = b, BC = c, CD = d, DE = e, EF = f
Les 3 formes d'hexagones correspondent aux conditions suivantes sur les angles et les côtés.

  1. A + B + C = 2π, a = d
  2. A + B + D = 2π, a = d et c = e
  3. A = C = E = 2π/3, a = b, c = d et e = f
La grande liberté laissée par ces contraintes fait que les constructions sont immédiates.

Type 1

A + B + C = 2π, a = d
C'est à dire FA> = -CD>
Bien sûr on a aussi D + E + F = 2π (la sommme des six angles = 4π)
Choisir deux vecteurs quelconques égaux FA> = DC>
Puis B et E quelconques.

Fichier Geogebra

Type 2

A + B + D = 2π, a = d et c = e
Donc C + E + F = 2π aussi.
On se donne F,A,B,C quelconques et D quelconque avec CD = AF
L'angle D est alors construit avec D = 2π -(A + B), et le point E avec DE = BC

Fichier Geogebra
Les hexagones orange sont retournés.

Type 3

A = C = E = 2π/3, a = b, c = d et e = f
On se donne arbitrairement A,B,C.
A = 2π/3 et a = b donnent F, C = 2π/3 et c = d donnent D
E est alors déterminé par E = 2π/3 (arc capable) et DE = DF (médiatrice de DF)

Le choix de C avec BC = AB/2 et l'angle B = π/3 donne un effet 3D saisissant, avec des hexagones concaves. Le choix de B = 4π/3 est encore plus intriguant...

Fichier Geogebra

 

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