Pavages
Pavages avec des hexagones irréguliers.
On connaît 3 pavages avec des hexagones irréguliers
Notons A,B,C,D,E,F les sommets et angles de l'hexagone, et les côtés par FA = a, AB = b, BC = c, CD = d, DE = e, EF = f
Les 3 formes d'hexagones correspondent aux conditions suivantes sur les angles et les côtés.
- A + B + C = 2π, a = d
- A + B + D = 2π, a = d et c = e
- A = C = E = 2π/3, a = b, c = d et e = f
La grande liberté laissée par ces contraintes fait que les constructions sont immédiates.
Type 1
A + B + C = 2π, a = d
C'est à dire
FA> = -
CD>
Bien sûr on a aussi D + E + F = 2π (la sommme des six angles = 4π)
Choisir deux vecteurs quelconques égaux
FA> =
DC>
Puis B et E quelconques.
Type 2
A + B + D = 2π, a = d et c = e
Donc C + E + F = 2π aussi.
On se donne F,A,B,C quelconques et D quelconque avec CD = AF
L'angle D est alors construit avec D = 2π -(A + B), et le point E avec DE = BC
Les hexagones orange sont retournés.
Type 3
A = C = E = 2π/3, a = b, c = d et e = f
On se donne arbitrairement A,B,C.
A = 2π/3 et a = b donnent F,
C = 2π/3 et c = d donnent D
E est alors déterminé par E = 2π/3 (arc capable) et DE = DF (médiatrice de DF)
Le choix de C avec BC = AB/2 et l'angle B = π/3 donne un effet 3D saisissant, avec des hexagones concaves.
Le choix de B = 4π/3 est encore plus intriguant...