Pavages - suite
Pavages avec des pentagones irréguliers. Suite des pavages N° 7-9- 2B + C = 2π, 2D + A = 2π, a = b = c = d
- 2A + B = 2π, 2D + C = 2π, a = b = c = d →
- 2E + B = 2π, 2D + C = 2π, a = b = c = d →
Forme 7
2B + C = 2π, 2D + A = 2π, a = b = c = d
L'angle C doit être < 120°
En se fixant C et les côtés b = c = d, il est facile de construire ABCD :
AB est parallèle à la bisectrice de l'angle C, c'est à dire perpendiculaire à BD
Le point E est alors unique. Quant à le construire ...
Nous allons construire l'angle E.
Le point E sera alors l'intersection du cercle de centre A de rayon a et de l'arc d'où on voit AD sous l'angle E.
Soit φ = ADC, et donc ADE = D - φ = π - A/2 - φ
En tenant compte de A + B + C + D + E = 3π, les relations imposées donnent
A = 2π - 2E - C et donc A/2 = π - E - C/2, soit ADE = E + C/2 - φ
Dans le triangle AED : AD/sin(E) = a/sin(ADE) ou encore
a.sin(E) = AD.sin(E + C/2 - φ) = AD.(sin(E).cos(C/2 - φ) + cos(E).sin(C/2 - φ))
et a = AD.(cos(C/2 - φ) + cot(E).sin(C/2 - φ)
qui permet de construire cot(E) et donc E.
AD.cot(E) = a/sin(C/2 - φ) - AD.cot(C/2 - φ), et comme C/2 - φ < 0 :
AD.cot(E) = AD.cot(φ - C/2) - a/sin(φ - C/2) Bof...
Traçons la droite DK faisant l'angle C/2 avec CD.
Elle coupe la parallèle à AD à distance AD au point K, que l'on projette en H sur AD.
Alors DH = AD.cot(φ - C/2)
Elle coupe la parallèle à AD à distance b en M, DM = a/sin(φ - C/2), que l'on ramène en DN sur la droite AD
Donc HN = AD.cot(E) donne E = KNH.
Le cercle d'où on voit AD sous l'angle E est ainsi construit :
Tracer la droite DO faisant l'angle HKN avec AD, elle coupe la médiatrice de AD en O, centre du cercle cherché.
Une symétrie par rapport à DE donne une forme qui pave le plan.
En D apparaît la relation 2D + A = 2π
En E la relation 2E + A + C = 2π
Eb B la relation 2B + C = 2π
Forme 8
2A + B = 2π, 2D + C = 2π, a = b = c = d
En d'autres termes : A + B/2 = π et D + C/2 = π
AE est donc parallèle à la bissectrice de l'angle B et DE parallèle à la bissectrice de l'angle C.
BD est alors perpendiculaire à cette bissectrice, donc à DE.
D étant le symétrique de B par rapport à cette bissectrice, celle-ci passe par le milieu M de BE.
D'où la construction :
Etant donnés E, A et B avec EA = AB.
La parallèle à AE en B est la bissectrice de l'angle B, donc C le symétrique de B par rapport à cette bissectrice.
M étant le milieu de BE, CM est la bissectrice de l'angle C, et donc D le symétrique de B par rapport à cette bissectrice.
Des relations angulaires on tire aussi 2E + B + C = 2π
D'où le pavage.
Le pentagone est dupliqué par symétrie sur DE, puis par symétrie autour du milieu de CD
La forme obtenue ("verte") et son image ("orange") dans un miroir pavent alors le plan par translations.
La forme orange est obtenue à partir de la forme verte par une "symétrie glissée" de vecteur B'A'/2 (B'A' étant un vecteur des translations) et d'axe parallèle passant par le milieu P de A'B'
Forme 9
2E + B = 2π, 2D + C = 2π, a = b = c = d
2D + C = 2π ou encore D + C/2 = π donne DE parallèle à la bisectrice de l'angle C, donc perpendiculaire à BD.
Posons t = ABE = BEA, x = EBD et y = DBC = BDC
Donc B = x + y + t et E = t + π/2 - x
2E + B = 2π s'écrit alors 2t + π - 2x + x + y + t = 2π, où 3t - x = π - y
Dans le triangle isocèle BCD, BD = 2a cos(y)
Dans BAE, BE = 2a cos(t)
Enfin dans le triangle BDE, BD = BE cos(x)
Soit cos(y) = cos(t)cos(x) [1]
3t - x = π - y donne cos(3t - x) = cos(3t)cos(x) + sin(3t)sin(x) = cos(π - y) = - cos(y) [2]
En additionnant [1] et [2] :
cos(3t)cos(x) + sin(3t)sin(x) + cos(t)cos(x) = 0 ou encore tan(x) = -(cos(t) + cos(3t))/sin(3t)
D'où la construction : choisissons le triangle isocèle ABE, c'est à dire l'angle t.
BM = a cos(t), puis BM' = - BM
Construisons l'angle 3t et donc BH = a cos(3t), A'H = a sin(3t)
Donc x = angle M'A'H, et la construction de la droite BD, puis ED perpendiculaire donne le sommet D.
La construction s'achève par le triangle isocèle BCD.
Le pentagone est valide si l'angle A est entre 60° et 90°
Le pentagone est concave si E < 90°. La limite est alors donnée par x = t
cos(3t - t) + cos(t)cos(t) = cos(2t) + cos²(t) = 2cos²(t) - 1 + cos²(t) = 0
soit cos(t) = 1/√3 et t ≈ 55° soit A ≈ 70°. On a ainsi :
| Convexe | Concave |
| 70° < A < 90° | 60° < A < 70° |
Là aussi on assemble 4 pentagones sous deux formes images l'une de l'autre dans un miroir ("vertes" et "orange")
Types 10-15
