Pavages

Pavages avec des pentagones irréguliers.
On connaît 15pavages avec des pentagones irréguliers.

Notons A,B,C,D,E les sommets et angles du pentagone, et les côtés par EA = a, AB = b, BC = c, CD = d, DE = e
Les 14 formes de pentagones correspondent aux conditions suivantes sur les angles et les côtés.

D + E = π →
C + E = π, a = d →
A = C = D = 2π/3, a = b, d = c + e →
A = C = π/2, a = b, c = d →
C = 2A = 2π/3, a = b, c = d →
C + E = π, A = 2C, a = b = e, c = d →
2B + C = 2π, 2D + A = 2π, a = b = c = d →
2A + B = 2π, 2D + C = 2π, a = b = c = d →
2E + B = 2π, 2D + C = 2π, a = b = c = d →
E = π/2, A + D = π, 2B - D = π, 2C + D = 2π, a = e = b + d →
A = π/2, C + E = π, 2B + C = 2π, d = e = 2a + c →
A = π/2, C + E = π, 2B + C = 2π, 2a = c + e = d →
A = C = π/2, 2B = 2E = 2π - D, c = d, 2c = e →
D = π/2, 2E + A = 2π, C + A = π, 2a = 2d = b = c →
D = 150°, B = 60°, C = 135°, (D=105°), E = 90°, a = c = e, b = 2a rarr;

Mais la littérature sur le sujet oublie généralement de préciser qu'on ne s'intéresse ici qu'aux pentagones convexes.
Plusieurs des cas ci-dessus fonctionnent avec des pentagones concaves (pas croisé), mais d'autres cas ne donnent que des pentagones concaves.

Forme 1

D + E = π ⇒ les côtés CD et AE sont parallèles
Il est alors immédiat de construire un tel pentagone arbitraire avec cette seule contrainte.
Le pavage n'est pas bien compliqué à trouver non plus.
Les symétries utilisées sont les rotations de 180° (symétrie centrale) et les translations.
Il y a d'autres façons de paver le plan avec une telle forme.

Les points sont librement déplaçables sous la contrainte AE // CD.
Les pentagones peuvent être concaves, mais non croisés bien sûr.

Forme 2

C + E = π, a = d
La construction d'un tel pentagone arbitraire n'offre aucune difficulté. Le pavage est un petit peu moins évident.
Les angles A, B, D dont la somme est 2π peuvent se mettre autour d'un point commun
Les angles C et E supplémentaires permettent de mettre les sommets C et E de deux pentagones le long d'un côté.
Ces deux pentagones partageant leurs côtés a = d.
Ils sont donc l'image l'un de l'autre dans un miroir (symétrie et rotation), ou encore par retournement dessus/dessous de la pièce.
La forme ainsi obtenue est répétée par translations et symétries centrales.

Forme 3

A = C = D = 2π/3, a = b, d = c + e
Par rotation de 120° autour de A, on obtient une "cellule" de 3 pentagones formant un hexagone régulier de côté d, avec laquelle on pave le plan.
D'où la construction simple de ABCDE :
On construit un hexagone régulier de centre A et de côté d, et on choisit le point B sur un côté. E s'en déduit par rotation de 120°

Le pavage avec les hexagones peut prendre une infinité de formes, compte tenu des 4 dispositions différentes des pentagones dans l'hexagone

Ci dessus on a choisi par uniquement des translations, les hexagones ayant tous la même orientation
On peut aussi paver par symétries (bouton "autre" dans l'applet) la composition de deux symétries d'axes parallèles étant une translation, il y aura fatalement des translations.

Forme 4

A = C = π/2, a = b, c = d
Aucune difficulté à construire un tel pentagone.
Le pavage s'obtient en dupliquant par rotation de 90° quatre exemplaires autour de l'un des angles droits.
La forme ainsi obtenue pave le plan par translation.

On peut voir aussi dans ce pavage le regroupement de 4 pièces pour former un hexagone à côtés parallèles ABD'B'E"D"E', donc pavant le plan par translations itou.
Lorsque le pentagone est symétrique (a = b = c = d) on obtient le "pavage du Caire" utilisé en architecture.
Plus précisément même a = b = c = d = e, pentagone "équilatéral".
La construction de ce cas particulier n'est pas très compliquée, en partant du triangle rectangle isocèle ABE par exemple.
M est l'intersection du cercle de diamètre BE et du cercle de centre E et de rayon a/2.
On obtient B = 2(π/4 + arcsin(1/√8)) ≈ 131°