Raccorder un cercle et une demi droite

source : geometry.puzzles "circle + ray" From : green_thumb_wannabe

On veut raccorder un cercle orienté à une demi-droite par un arc de cercle orienté de rayon donné.
En laissant tomber la convention de "rayons négatifs" et en gardant simplement le problème :

Etant donné un cercle (C), centré en C et de rayon rC,
un point R sur ce cercle et une demi-droite (R) isue de R formant un angle Ra avec l'horizontale.
Raccorder le cercle et la demi-droite par un cercle (E) de rayon donné rE de sorte que le chemin passe en partant de (C) dans le sens anti-horaire, puis sur (E) dans le sens horaire, puis en suivant la demi-droite dans sa direction.

Sans les contraintes d'orientation, le problème est facile, et admet au plus 8 solutions. Avec les orientations données, il n'y en a plus qu'une seule.
Le problème est ici de trouver (construire, calculer) directement cette solution, sans avoir besoin de "choisir" parmi les 8.

Considérons le passage au point de contact entre (C) et (E). On change de direction : sens horaire, puis anti-horaire, ceci veut dire simplement que les cercles sont tangents extèrieurement.
Donc le centre E de (E) est sur le cercle (C'), centré en C et de rayon |rC| + |rE|.
Maintenant, au point de contact entre (E) et la demi-droite (R), passer du sens anti-horaire à la direction de la demi-droite veut dire simplement que le cercle (E) est "à gauche" de la demi-droite, en regardant depuis R dans la direction de cette demi-droite.
Le centre E est donc sur une demi-droite parallèle (R'), de même direction que (R), et partant d'un point K avec |RK| = |rE|, et l'angle orienté ((R), RK) = +90°.

D'où la construction

Fichier Geogebra

Les points C et rC définissent le cercle (c)
Choisir un point R sur ce cercle
Ra déplaçable définit la direction de la demi-droite (R), (orientée de R vers Ra).
rE déplaçable définit le rayon rE.
La distance C_rE est copiée en R, puis tournée pour être à +90° de la demi-droite donnant le point K.
Une demi droite parallèle à (R) (de même direction donc) est tracée à partir de K
Le cercle (C') de centre C et de rayon |rC| + |rE| est tracé
E est le point d'intersection de la demi-droite issue de K avec ce cercle.
Avec ces orientations, E existe toujours, et est le bon :
K est toujours intérieur au cercle (C') car le lieu de K quand R varie est un cercle, translation de (C), dans la direction Ra+90°, de distance |rE|.

Il est alors aisé de construire les points de contact, comme intersection de (R) et d'une perpendiculaire à (R) issue de E
et comme intersection du cercle (C) et du segment CE.
Le cercle (E) est centré en E et passe par le point de contact H

Autres solutions

En ignorant les contraintes d'orientation, si on remplace "demi-droite" par "droite", on obtient deux solutions.
Puis, avec une rotation donnant K de -90° au lieu de +90° (symétrique de K par rapport à la droite (R)) on obtient deux autres solutions.
Enfin en remplaçant |rC| + |rE| par |rC| - |rE|, on double le nombre de solutions, pour au total jusqu'à 8 solutions.
Toutes les 8 solutions ne sont possibles que si rE est "suffisamment petit", et qu'il y a "suffisamment de place" entre (R) et (C). Sinon il y a moins de solutions.

Calculs

A partir de cette construction, il n'est pas difficile de calculer directement les coordonnées de E :
Définissons K comme :
xK = xR + rE.cos(Ra + 90°),
yK = yR + rE.sin(Ra + 90°)

Alors la demi-droite issue de K peut être paramètrée comme :
x = xK + t.cos(Ra)
y = yK + t.sin(Ra)
t > 0

L'intersection de cette droite (en résolvant l'équation du second degré en t) avec le cercle x² + y² = (|rC| + |rE|)² donne deux solutions,
La seule qui convient est pour t >0 (sur la demi-droite issue de K) aussi dans l'équation, on choisit simplement + sqrt.

Détails laissés au lecteur...

 

Accueil Arithmétiques Géométrique Divers Thèmes Scripts Jeux Exercices Sujet précédent Sujet suivant