Cercle inscrit

Une propriété du cercle inscrit et des quadrilatères circonscrits.

Etant donné un triangle ABC, son cercle inscrit de centre I et les points de contact U et V avec AC et BC

 AI, UV et la perpendiculaire à AI issue de B sont concourantes 
Preuve :
traçons AI et la perpendiculaire issue de B, elles se coupent en F.
AI coupe BC en D et BF coupe AC en E.
Par construction, AI est axe de symétrie de ABDE en particulier AI est aussi bissectrice de l'angle EDB
I est sur la bissectrice de l'angle C, donc I est le centre du cercle exinscrit au triangle CDE.
Donc DE est tangente au cercle.

Considérons l'hexagone AUEDVB circonscrit au cercle.
(dégénéré car U et V sont à la fois sommets et points de contact)
Le théorème de Brianchon affirme que les diagonales d'un hexagone circonscrit sont concourantes.
Donc AD, BE, UV concourantes. CQFD.

La réciproque est tout aussi intéressante :

 Un quadrilatère circonscrit dont les diagonales sont perpendiculaires est forcément symétrique par rapport à l'une d'elles 

Soit un quadrilatère circonscrit ABCD, on peut fixer AB, l'angle A et l'angle B, au moins un des deux étant aigu. Ceci fixe le cercle inscrit et le triangle PAB.
Nous allons chercher le 4ème côté CD pour que AC_|_BD.
Le point F intersection de AC et BD est alors sur le cercle de diamètre AB.
Le quadrilatère étant circonscrit, le théorème de Brianchon donne F sur UV.
F est donc l'intersection du cercle de diamètre AB et de UV, soit deux solutions seulement F et F'.
En vertu de la propriété précédente, AF est donc bissectrice de l'angle A. (et BF' de l'angle B). CQFD.

 

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