Etant donné un triangle ABC, son cercle inscrit de centre I et les points de contact U et V avec AC et BC
AI, UV et la perpendiculaire à AI issue de B sont concourantes |
Considérons l'hexagone AUEDVB circonscrit au cercle.
(dégénéré car U et V sont à la fois sommets et points de contact)
Le théorème de Brianchon affirme que les diagonales d'un hexagone circonscrit sont concourantes.
Donc AD, BE, UV concourantes. CQFD.
La réciproque est tout aussi intéressante :
Un quadrilatère circonscrit dont les diagonales sont perpendiculaires est forcément symétrique par rapport à l'une d'elles |
Soit un quadrilatère circonscrit ABCD, on peut fixer AB, l'angle A et l'angle B, au moins un des deux étant aigu.
Ceci fixe le cercle inscrit et le triangle PAB.
Nous allons chercher le 4ème côté CD pour que AC_|_BD.
Le point F intersection de AC et BD est alors sur le cercle de diamètre AB.
Le quadrilatère étant circonscrit, le théorème de Brianchon donne F sur UV.
F est donc l'intersection du cercle de diamètre AB et de UV, soit deux solutions seulement F et F'.
En vertu de la propriété précédente, AF est donc bissectrice de l'angle A.
(et BF' de l'angle B). CQFD.