Polygone régulier

Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java Etant donné un polygone régulier à n côtés, n impair (ici à 5 côtés) A1 ... An et un point P du cercle circonscrit sur l'arc A1An,

 PA1 - PA2 + PA3 ... + PAn = 0 

Posons 2t = l'angle POA1
Alors dans le triangle PA1A2 l'angle PA2A1 = t, l'angle A2PA1 = π/n et en appelant a le côté du n-gone : PA1 = a. sin(t)/sin(π/n)
De façon générale en considérant le triangle PAkAk+1 l'angle PAk+1Ak = t + kπ/n, l'angle Ak+1PAk = π/n et PAk = a. sin(t + kπ/n)/sin(π/n)
La relation cherchée revient donc à démontrer

 ∑0n-1 (-1)k sin(t + kπ/n) = 0 

Pour tout 0 ≤ t ≤ π/n, n impair

A partir de cos(t) + i.sin(t) = ei.t, la somme de fonctions trigonométriques d'angles en progression arithmétique de raison α se ramène à une somme d'exponentielles en progression géométrique et donne la formule générale :

sin(t) + sin(t+α) + sin(t+2α) + ... sin(t+nα) = sin((n+1)α/2).sin(t + nα/2) / sin(α/2) 
cos(t) + cos(t+α) + cos(t+2α) + ... cos(t+nα) = sin((n+1)α/2).cos(t + nα/2) / sin(α/2) 

Ici en prenant α = π + π/n on obtient
∑ sin(t + kπ + kπ/n) = ∑ (-1)k.sin(t + kπ/n) et en s'arrêtant dans la formule générale à n-1, on obtient :
sin(n.α/2).sin(t + (n-1)α/2) / sin(α/2)  = sin((n+1)π/2).sin(t + ...) / sin(...) = 0 si n impair (n+1 pair)

 

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