Quadrilatère

Construction d'un quadrilatère, étant donnés les côtés AB = a, BC = b, CD = c, AD = d et l'aire S = u², donnée par celle d'un carré.

Une méthode de construction possible est la suivante :
Avec la formule de Bretschneider S = √(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd cos²( (A+C}/2 )
Il est possible de construire l'angle A+C = φ comme suit :
u cos²(φ/2) = u((p-a)/a)((p-b)/b)((p-c)/c)((p-d)/d) - u(u/a)(u/b)(u/c)(u/d)
De proche en proche en multipliant u par les rapports successifs (p-a)/a, puis (p-b)/b, (p-c)/c et (p-d)/d
Et de même en multipliant u successivement par les rapports u/a, u/b, u/c, u/d
Puis en construisant la différence.
cos(φ) est alors construit par : cos(φ) = 2cos²(φ/2) - 1

Al Kashi dans les triangles ABD et BCD donne :
a² + d² - 2ad cos(A) = b² + c² - 2bc cos(φ - A)
Soit : (2bc cos(φ) - 2ad)cos(A) + 2bc sin(φ) sin(A) = b² + c² - a² - d²
Construisons P = u cos(φ)(b/u)(c/u) - ad/u, Q = bc/u sin(φ) et M = (b²/u + c²/u - a²/u - d²/u)/2
On obtient P cos(A) + Q sin(A) = M et en construisant θ avec P = R cos(θ), Q = R sin(θ) :
R cos(θ - A) = M, d'où la construction de A.

La construction finale du quadrilatère connaissant l'angle A n'est alors plus qu'une formalité.
Il reste tout de même à "choisir" les bons points d'intersection, le problème se posant quand l' angle C est > 180°.

L'applet ci-dessous effectue cette construction.
Les points a,b,c,d,u sont déplaçables pour définir les données.
Les étapes sont détaillées (enfin pas trop...) par les boutons "step".
Le point A déplaçable permet de décaler la figure et voir des points en dehors.

Le choix du bon point d'intersection C lors de la construction finale (intersection des cercles de centres B et D) est effectué par une construction conditionnelle : un seul des deux points d'intersection donnant l'aire voulue.