Triangle affine

Une vision affine des points remarquables d'un triangle.

La figure ci-contre montre l'orthocentre, le cercle circonscrit et le cercle inscrit d'un triangle affine. Vous avez dit cercle ??? Ben oui. Il y a deux façons de voir cette figure :
Par application d'une transformation affine quelconque à la figure Euclidienne usuelle.
Directement telle quelle, par choix d'une structure métrique non standard.
Pour préciser, étant donné un repère quelconque (Ox>,Oy>) on définit la distance d par le produit scalaire d² = AB>.AB> ce qui avec le produit scalaire usuel xx' + yy' donne bien d² = x² + y². Mais toute autre forme bilinéaire pour le produit scalaire convient !

Malgré cette distorsion (apparente) des figures, de nombreuses propriétés des points remarquables d'un triangle s'avèrent être uniquement des propriétés affines, ne dépendant pas de la métrique utilisée.
Les "bisectrices" et les "médiatrices" se coupent sur le cercle circonscrit par exemple (même si elles n'ont pas l'air de ce qu'elles sont).

Donnons nous un triangle ABC quelconque, et choisissons un point quelconque H, en décrétant que ce point est ... l'orthocentre du triangle !
Ceci est toujours possible, et définit alors tout le reste, en définissant la structure Euclidienne utilisée pour le plan affine.

Reste tout de même que pour ne pas être trop perdu, il vaut mieux éviter une métrique hyperbolique (dans laquelle les cercles sont vus comme des hyperboles !) et confiner le point H dans les régions "autorisées".
Les "hauteurs" sont par définition "perpendiculaires" aux côtés (dans la métrique utilisée, définie par le produit scalaire).

 

On va se consacrer maintenant à la constructions des autres points remarquables de notre triangle, par des méthodes purement affines : homothéties, parallèles...
Les cercles de la figure ne peuvent pas se tracer avec un compas "de chez nous". On évitera de construire des intersections de droites et de cercles.
Plus précisément on se contentera de construire des intersections de droites avec des coniques, lorsque ces coniques s'avèrent pouvoir être des coniques arbitraires, que l'on peut alors choisir comme traçable avec notre compas usuel (des cercles Euclidiens).

Comme on est dans le plan affine, les rapports de distance sur une droite sont conservés, donc en particulier les milieux des côtés, les médianes et le centre de gravité G, construits "comme d'hab" sans aucune difficulté.
On peut se poser la question comment tracer le milieu d'un segment sans compas, rien qu'avec des parallèles : aucune difficulté, les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Quant aux parallèles sans compas "l'équerre traceuse de parallèle" suffit, méthode usuelle pour tous ceux qui ont utilisé une table à dessin.

On obtient les médiatrices, comme "perpendiculaires" aux côtés, c'est à dire parallèles aux "hauteurs", définies par le point H.
Ceci donne le centre du cercle circonscrit O.
On peut obtenir aussi O comme intersection de la droite d'Euler GH avec la parallèle à BHb en Mb (qui est la médiatrice).

Reste à tracer le "cercle circonscrit", qui s'avère être une conique passant par A,B,C et de centre O.
Dans l'applet, la conique est tracée en ajoutant en plus de A,B,C deux autres points, ici les symétriques de l'orthocentre par rapport aux pieds des hauteurs, (ou les symétriques de B et C par rapport à O).
Les symétriques peuvent être obtenus avec juste des parallèles, en utilisant les milieux déja construits :
La parallèle à HaMb en A coupe BC en N. La parallèle à NH en C coupe AH en a, symétrique de H par rapport à Ha.
On a ainsi une conique définie par 5 points qu'on peut tracer "à la règle" (construction projective par le théorème de Pascal).

Une remarque importante : tous les "cercles" du plan affine sont homothétiques de celui-ci.
On pourra ainsi à peu de frais tracer d'autres cercles par une simple homothétie.

On a déjà de nombreuses propriétés : le symétrique de l'orthocentre par rapport au pied de la hauteur est sur le cercle circonscrit, droite et cercle d'Euler, etc... qui s'obtiennent directement par des opérations affines (homothéties et parallèles).

On va s'attaquer maintenant au cercle inscrit. Le problème étant ici les "bisectrices".
Comme vu dans l'exemple, elles n'ont pas l'air de ce qu'elles sont et il faut en trouver une construction affine.
On pourrait certes utiliser la propriété que les bisectrices coupent les médiatrices sur le cercle circonscrit, mais l'intersection avec la conique représentant le cercle circonscrit n'est pas aussi simple... Même s'il s'agit d'une "construction affine de base", cela ne fait pas partie de la panoplie des outils (Euclidiens) offerts dans l'applet.

Le triangle tangentiel A'B'C' (tangent au cercle circonscrit en les sommets) est parallèle au triangle orthique HaHbHc, donc facilement constructible.
Ceci va nous permettre d'appliquer une des constructions du point de Lemoine, point de concours des symmédianes, sans avoir besoin de construire des angles.
La construction affine du point de Lemoine est le point de concours K des droites AA', BB', CC', A'B'C' étant le triangle tangentiel (ces droites sont donc les symmédianes).

Ce point de Lemoine n'est pas important en soi, mais c'est juste un moyen de construire les bisectrices !
En effet le point de Lemoine K est le conjugué isogonal du centre de gravité G. Avec un autre couple de points isogonaux : H et O, cela "définit" l'isogonalité, et permet de construire nos bisectrices.
L'isogonalité détermine une involution du faisceau de droites passant par A.
Les bisectrices de l'angle A sont alors les droites invariantes de cette involution (transformées en elles-même).

Une vue "projective" de cette propriété nous permet de les construire :

Projetons ce faisceau sur une conique quelconque passant par A, que l'on choisira bien sûr comme traçable avec un compas Euclidien ordinaire, donc ayant l'air d'un cercle.
Cette involution sur la conique est définie par deux couples de points conjugués, les images de (O→o, H→h) et de (K→k, G→g).
On construit l'axe xx' de cette involution avec x = ok∩gh et x' = og∩kh
Il coupe le cercle en les points fixes u et v de l'involution sur le cercle.
Au et Av sont les bisectrices de l'angle A.

Si A,O,H sont alignés, le triangle est "isocèle" et la bisectrice est directement AO.
La bisectrice extérieure est alors la parallèle au côté BC.

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On construit de même la bisectrice intérieure de l'angle B et on obtient ainsi le centre du cercle inscrit.
Comme indiqué précédemment, une homothétie permet alors de le tracer.
Deux rayons parallèles de ces cercles sont OUa et IXa, Ua intersection de la médiatrice et de la bisectrice, donc sur le cercle circonscrit, Xa le point de contact, projection de I sur BC parallèlement à la hauteur.
Ceci permet de réaliser l'homothétie cherchée, son centre étant l'intersection de OI et de UaXa.

Dans l'applet, les points A,B,C,H sont bien entendu déplaçables.
Lors de la construction de la bisectrice, le point jaune déplaçable choisit le cercle (alias conique) quelconque passant par A.

Transformation

Comme indiqué au début, un autre point de vue est de considérer la figure comme la transformée d'une figure Euclidienne. Nous allons ici construire cette transformation, en la définisant comme produit d'une affinité orthogonale et d'une "transvection". La transformation est choisie pour garder BC invariant.

Cherchons la transvection parallèle à BC qui transforme la "hauteur" AHa en une perpendiculaire Euclidienne.
A est alors transformé en A', intersection de la parallèle à BC en A et de la perpendiculaire à BC en Ha.
Le transformé d'un point quelconque par cette transvection est obtenu ainsi : MA coupe BC en I. IA' et la parallèle à BC en M se coupent en M'.
Pour les points sur une parallèle à BC passant par A, cette construction échoue, mais alors c'est une simple translation de AA'>

Trouvons maintenant l'affinité perpendiculaire à BC qui donne CHc perpendiculaire à AB.
La perpendiculaire à BC de H'c coupe le cercle de diamètre BC en H"c
Ceci définit le raport d'affinité KH"c/KH'c.
Nous avons maintenant l'image A"BC dans la transformation de notre orthocentre "bizarre" ABCH en une version Euclidienne A"BCH".
Les constructions habituelles (Euclidiennes)sur A"BC peuvent alors être effectuées, puis la transformation inverse définie par A" → A transforme la figure Euclidienne en sa version affine.

Cette transformation inverse A" → A est l'affinité inverse de rapport HaA'/HaA", suivie de la transvection inverse A' → A.
L'affinité inverse M" → M' est effectuée par les triangles semblables IM"M' et IA"A',
I étant l'intersection de M"A" avec la droite invariante BC.
Puis la transvection inverse M'→M par les triangles semblables IM'M et IA'A.
Les deux transformationns peuvent être combinées en M"→M :
La droite M"A" coupe BC en I.
La droite IA et la parallèle à A"A en M" se coupent en M.
La construction des points remarquables et des cercles en version affine à partir de la figure Euclidienne est alors facile, juste fastidieuse.

 

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