Demi-périmètre

Une corde PQ coupe le périmètre du triangle ABC en deux.
Trouver toutes les cordes de même longueur coupant aussi le périmètre en deux.

Choisissons un point P sur AB, et construisons, si c'est possible, le point Q sur AC avec AP + AQ = (AB + BC + AC)/2 = p, soit AQ = p - AP.
Le symétrique de PQ par rapport à la bissectrice de A donne une deuxième solution, si P' et Q' sont tous deux dans les côtés AB et AC.
Sinon, il faut chercher des cordes de longueur PQ dans les angles B et C au lieu de A.

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Dans l'applet, le point P est astreint dans la partie de AB qui convient, c'est à dire AQ = p - AP ≤ AC, soit  AP ≥ p - AC 
Si le symétrique par rapport à la bisectrice de A est dans AB, AC, il est tracé dans la foulée.

Vient maintenant le véritable problème : construire s'il y en a, des segments P"Q" = PQ dans les angles B et C.
Par exemple cherchons dans l'angle C.
Construisons donc à partir de PQ un point N avec <)PNQ = C et NP + NQ = p
Ceci est l'intersection d'un cercle (arc capable de l'angle C sur PQ) et d'une ellipse (NP + NQ = p) de foyers P et Q, ce qui ne semble pas immédiat...
Revoyons la construction des points d'une ellipse par un cercle directeur.
Le point courant N de l'ellipse est obtenu à partir d'un point courant M du cercle directeur de centre Q et de rayon p.
Le rayon QM et la médiatrice de PM se coupent en N.
Le triangle PNM est isocèle et la médiatrice de PM est la bisectrice de PNM.

On en déduit la propriété qui nous intéresse :  <)PMQ = PNQ/2 

Le point M source du point N cherché est donc l'intersection du cercle directeur et du cercle d'où on voit PQ sous l'angle C/2.
Le triangle PNQ est alors recopié en P"CQ" dans l'angle C, si possible, c'est à dire si P" et Q" sont dans AC et BC.

La deuxième solution dans l'angle C est obtenue de même à partir de la deuxième intersection M', ou plus simplement par symétrie du premier candidat par rapport à la bisectrice de l'angle C.

La construction de l'arc capable de C/2 n'est pas détaillée dans l'applet, cette construction élémentaire peut s'obtenir comme suit :
Recopions l'angle en C le long de PQ, sommet en Q, puis divisons le par 2 et traçons la perpendiculaire en Q à cette bisectrice.
Elle coupe la médiatrice de PQ au centre du cercle cherché.

 

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