Demi-périmètre

Une corde PQ coupe le périmètre du triangle ABC en deux.
Trouver toutes les cordes de même longueur coupant aussi le périmètre en deux.

Choisissons un point P sur AB, et construisons, si c'est possible, le point Q sur AC avec AP + AQ = (AB + BC + AC)/2 = p, soit AQ = p - AP.
Le symétrique de PQ par rapport à la bissectrice de A donne une deuxième solution, si P' et Q' sont tous deux dans les côtés AB et AC.
Sinon, il faut chercher des cordes de longueur PQ dans les angles B et C au lieu de A.

Dans l'applet, le point P est astreint dans la partie de AB qui convient, c'est à dire AQ = p - AP ≤ AC, soit  AP ≥ p - AC 
Si le symétrique par rapport à la bissectrice de A est dans AB, AC, il est tracé dans la foulée.

Vient maintenant le véritable problème : construire s'il y en a, des segments P"Q" = PQ dans les angles B et C.
Par exemple cherchons dans l'angle C.
Construisons donc à partir de PQ un point N avec <)PNQ = C et NP + NQ = p
Ceci est l'intersection d'un cercle (arc capable de l'angle C sur PQ) et d'une ellipse (NP + NQ = p) de foyers P et Q, ce qui ne semble pas immédiat...
Revoyons la construction des points d'une ellipse par un cercle directeur.
Le point courant N de l'ellipse est obtenu à partir d'un point courant M du cercle directeur de centre Q et de rayon p.
Le rayon QM et la médiatrice de PM se coupent en N.
Le triangle PNM est isocèle et la médiatrice de PM est la bisectrice de PNM.

On en déduit la propriété qui nous intéresse :  <)PMQ = PNQ/2 

Le point M source du point N cherché est donc l'intersection du cercle directeur et du cercle d'où on voit PQ sous l'angle C/2.
Le triangle PNQ est alors recopié en P"CQ" dans l'angle C, si possible, c'est à dire si P" et Q" sont dans AC et BC.

La deuxième solution dans l'angle C est obtenue de même à partir de la deuxième intersection M', ou plus simplement par symétrie du premier candidat par rapport à la bissectrice de l'angle C.
Et de même pour l'angle B (jusqu'à 6 solutions par conséquent, 2 pour chaque angle)

La construction de l'arc capable de C/2 n'est pas détaillée dans l'applet, cette construction élémentaire peut s'obtenir comme suit :
Recopions l'angle en C le long de PQ, sommet en Q, puis divisons le par 2 et traçons la perpendiculaire en Q à cette bissectrice.
Elle coupe la médiatrice de PQ au centre du cercle cherché.

Enveloppes

Soient Yb et Yc les points de contact avec AB et AC des cercles exinscrits.
AYc = p - AC, donc P est astreint à être sur le segment BYc
Et de même Q sur CYb, les positions limites de PQ sont donc CYc et BYb (nota : elles se coupent en le point de Nagel N)
Les droites (PQ) avec AP+AQ = p sont tangentes à une parabole, d'axe la bissectrice de BAC et tangente à (AB) et (AC) en les points de contacts U et V avec le cercle exinscrit.
En fait l'arc de cette parabole limité par les points D et E, points de contact de cette parabole avec CYc et BYb

Caractérisation de cette parabole

soient U' et V' les milieux de AU et BV
U'V' est une droite PQ valable (AU'+AV' = p/2 + p/2 = p) et est donc la tangente au sommet et S, milieu de U'V' le sommet
Comme les trois tangentes AB, AC et UV se coupent deux à deux en A, U', V', le foyer est sur le cercle circonscrit à AU'V'
Ayant le foyer et la tangent au sommet, cela permet de déterminer la directrice et de tracer cette parabole.

On fait de même avec les deux autres arcs de paraboles D'E' et D''E''
Nota : ces arcs ne sont pas tangents entre eux D ≠ D' etc, mais ont AYa, BYb et CYc comme tangentes communes deux à deux.

l'ensemble de toutes les droites coupant le périmètre d'un triangle en 2 est les droites tangentes à cette courbe composite.
Ceci permet de construire les droites coupant le périmètre en deux et qui passent par un point donné du plan.
Comparer avec partage du champ pour l'ensemble des droites coupant l'aire en deux.