Tangente commune

Construire les tangentes commune à un cercle et une parabole.
Cas où le cercle est centré sur l'axe de la parabole.

Soit AT une tangente commune, tangente en A au cercle de centre O.
Soit M la projection du foyer F sur cette tangente, donc sur la tangente au sommet à la parabole.
Considérons le point A' symmétrique de A par rapport à M et le cercle tangent en A' à AT, centré sur l'axe de la parabole en O'
Par projection perpendiculairement à AT, F est le milieu de OO' D'autre part la tangente au sommet, perpendiculaire à l'axe et passant par le milieu de la tangente commune AA' au deux cercles est donc l'axe radical de ces deux cercles.

 Les tangentes communes à une parabole de foyer F et un cercle centré en O sur l'axe 
 sont tangentes à un deuxième cercle de centre O' symétrique de O par rapport au foyer F, 
 et ayant la tangente au sommet comme axe radical avec le cercle donné. 

Dans l'applet, les points bleus F, S, O, r définisent la parabole et le cercle.

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Ceci permet ainsi la construction cherchée :

Selon la position du cercle il y a 0, 2 ou 4 tangentes communes, éventuellement confondues par paires.

Si le cercle donné est centré en F, la construction échoue : les deux cercles (O) et (O') sont confondus.
Mais à la limite, le milieu de leur tangente commune est l'intersection du cercle donné avec l'axe radical,
La tangente commune est donc la tangente à (O) en l'intersection de ce cercle avec la tangente au sommet.
L'applet ne traite pas ce cas particulier.
Si (O) est tangent à la parabole, le cercle (O') devient un cercle point, l'applet ne traite pas ce cas non plus
(La tangente commune est la tangente issue de O')
Si (O) est tangent en S à la parabole, la tangente commune en S n'est pas non plus construite (à cause de la méthode employé ici pour construire les tangentes communes à deux cercles).

 

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