Lieux isogonaux

On donne un triangle quelconque ABC, soit O le centre de son cercle circonscrit et (d) une droite passant par O.
P un point variable sur (d). T, U, V les symétriques de P par rapport aux côtés de ABC, et Q le centre du cercle circonscrit de TUV.
Lieu de Q quand P parcourt (d).

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Démontrons tout d'abord une propriété de P et Q, indépendamment du lieu de P et Q.
BC est la médiatrice de PT, et AB celle de PV. Donc B est le centre du cercle circonscrit à PTV. La médiatrice de TV passe donc par B et est la droite BQ.
De même la médiatrice de TU passe par C et est la droite CQ.
<)PBC = 1/2 PBT = PVT = ABQ, et de même <)PCA = BCQ
En d'autre termes

 Q est le conjugué isogonal de P 

Définition :
Quand P parcourt un lieu (L), le conjugué isogonal Q de P parcourt un lieu (L') appelé le conjugué isogonal de (L).

P parcourant maintenant une droite (d) quelconque.

Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java Soit Q1 l'intersection de BQ et (d). I1, J1 les intersections des bisectrices de l'angle B avec (d).
(P,Q1,I1,J1) est harmonique, ceci définit l'involution P ↔ Q1, de points fixes I1 et J1.
De même Q2 intersection de CQ avec (d), et les bisectrices de C coupant (d) en I2, J2 définissent une involution P ↔ Q2.
Le produit de ces deux involutions définit une homographie Q1 → Q2 sur (d) et par projection une homographie entre les faisceaux de droites B* et C* : BQ1 → CQ2.
Le théorème de Chasles-Steiner indique alors que Q, intersection de BQ1 et CQ2, décrit une conique, qui passe d'ailleurs par B et C.
Par symétrie des rôles de A,B,C, elle passe bien sûr aussi par A.
L'applet illustre les homographies Q1 → Q2 et BQ1 → CQ2.
(d) est définie par les points I1, J1 déplaçables sur les bisectrices de l'angle B. Q1 déplaçable est le point courant dans ces homographies.

 Le conjugué isogonal d'une droite (d) quelconque est une conique circonscrite à ABC 

Points à l'infini

Rappelons le théorème de Simson :
Soient M,N,P les projetés orthogonaux de P sur les côtés de ABC
M,N,P sont alignés si et seulement si P est sur le cercle circonscrit à ABC.

Par homothétie de rapport 2 de centre P, le points T,U,V sont alignés dans les mêmes conditions.
Le cercle circonscrit à TUV devient alors la droite de Steiner TUV, et son "centre" Q est le point à l'infini dans la direction perpendiculaire.
Selon les intersections de (d) avec le cercle circonscrit, il y aura ainsi 0, 1 ou 2 points à l'infini sur la conique lieu de Q.

 La conique lieu de Q est une ellipse, une parabole ou une hyperbole selon la position de (d) par rapport au 
 cercle circonscrit à ABC.
 Les asymptotes sont perpendiculaires aux droites de Simson des intersections de (d) avec le cercle circonscrit.

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Dans l'applet, la droite (d) est librement définie par les points déplaçables bleus.
Diverses astuces permettent ici de tracer des hyperboles "propres" et des asymptotes "propres" :
- Séparation des cas selon que (d) coupe le cercle circonscrit ou non.
- Les points d'intersection de (d) avec le cercle sont contournés en traçant les lieux de Q pour P parcourant séparément
le segment ]P1P2[, la demi droite ]P1x[ et la demi droite ]P2x'[
- Les asymptotes sont construites à part par la construction de Pascal d'une tangente à une conique définie par 5 points :
les points A,B,C et les points à l'infini D et E dans les directions perpendiculaires aux droites de Simson.
Les asymptotes étant alors les tangentes en D et E.
La construction de Q comme conjugué isogonal du point courant P n'est pas affichée, idem précédemment.
Nota : Le quatrième point d'intersection de la conique avec le cercle circonscrit est obtenu quand P est à l'infini.

Dans notre cas, (d) est un diamètre du cercle circonscrit. Les droites de Simson des points diamétralement opposés sont alors perpendiculaires et l'hyperbole est une hyperbole équilatère.
Lorsque P vient en O, Q devient le point isogonal conjugué de O, c'est à dire l'orthocentre de ABC.
Ceci n'est pas surprenant car :

 Les hyperboles équilatères circonscrites à un triangle ABC forment un faisceau, de points de base A,B,C,H. 
En d'autres termes, pour les diverses droites (d) passant par O, les hyperboles passent toutes par H.

Enfin les droites de Simson des points d'intersection de (d) avec le cercle circonscrit sont ici en fait les asymptotes elles mêmes.
L'hyperbole étant définie de façon projective (par le théorème de Chasles-Steiner), la démonstration la plus directe sera une démonstration projective.

Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java Considérons l'hyperbole H associée à une droite (d) donnée, et soit (h) une de ses asymptotes.
Soient D,E,F les points où les côtés de ABC coupent (h).
D',E',F' les points où les hauteurs de ABC coupent (h).
L'homographie de (h) sur elle même définie par (D,E,F) ↔ (D'E'F') est en fait l'involution de Desargues φ induite sur (h) par le faisceau des hyperboles équilatères définies par A,B,C,H.
En effet des hyperboles dégénérées de ce faisceau sont constituées d'un côté et de la hauteur associée.
Le point à l'infini de (h) est inchangé dans cette involution, puisque c'est le point de contact de l'hyperbole considérée H et de son asymptote (h).

Considérons ensuite la projection λ de centre H de (h) sur la droite de l'infini.
Elle fait correspondre les points D',E',F' aux points à l'infini A,B,C, intersections des hauteurs avec la droite de l'infini.
Etant une projection, elle conserve invariant le point à l'infini de (h), intersection des deux droites.

Considérons maintenant la composition α de ces deux homographies c'est à dire l'homographie de (h) sur la droite de l'infini définie par (D,E,F) → (A,B,C)
Le point à l'infini de (h) étant invariant dans φ et λ, il est invariant dans leur produit α
L'homographie α qui conserve le point d'intersection des deux droites est donc une projection.
En d'autres termes les droites joignant les points homologues DA, EB, FC sont concourantes au centre de cette projection.

Mais DA est la perpendiculaire en D à BC (parallèle à la hauteur AH)
Les perpendiculaires en D,E,F aux côtés de ABC sont donc concourantes, ce qui est la réciproque du théorème de Simson,
et donc (h) est la droite de Simson elle même dans la direction de (h).
L'applet illustre les homographies m → m'= φ(m) et la conique associée du faisceau (coupant (h) en m et m'),
m' → m' = λ(m') et finalement m → m' = α(m),
les points à l'infini étant illustrés par les droites m'λ(m') et mα(m), parallèles donc puisque ayant même point à l'infini m'.

Le centre ω de l'hyperbole (l'intersection des droites de Simson perpendiculaires) est sur le cercle d'Euler de ABC.
Remarque : le 4ème point S d'intersection de l'hyperbole avec le cercle circonscrit est le symétrique de H par rapport au centre ω de l'hyperbole.
En effet il appartient à la fois à l'hyperbole (symétrique de H par rapport à ω) et au cercle circonscrit (homothétique de rapport 2 de centre H du cercle d'Euler).

En résumé pour notre cas où P parcourt une droite (d) passant par O :

Le lieu de Q est une hyperbole équilatère passant par A,B,C, et l'orthocentre H.
Ses asymptotes sont les droites de Simson des intersections de (d) avec le cercle circonscrit.

Kiepert

Désolé, votre navigateur n'est pas compatible Java L'hyperbole de Kiepert est une des hyperboles équilatères circonscrites à ABC.
Elle passe en particulier par le centre de gravité G de ABC.
Le point P correspondant est le conjugué isogonal de G, c'est à dire le point de Lemoine K de ABC, point de concours des symmédianes.

Notre hyperbole est donc l'hyperbole de Kiepert quand la droite (d) est la droite OK, appelée l'axe de Brocard de ABC.

L'hyperbole de Kiepert est la conjuguée isogonale de l'axe de Brocard OK.

Notons que la définition originelle de l'hyperbole de Kiepert est tout autre :
Construisons trois triangles isocèles semblables, de bases AB,AC,BC et de sommets respectifs C', B' A'. les droites AA',BB',CC' sont concourantes en Q et le lieu de Q est l'hyperbole de Kiepert.
On notera que le point de Fermat-Toricelli est sur cette hyperbole : quand les triangles isocèles sont équilatéraux.

Jerabek

L'hyperbole de Jerabek fait aussi partie de notre famille d'hyperboles, mais elle passe par O cette fois.
Elle est donc l'image d'une droite passant par le conjugué de O, c'est à dire l'orthocentre, et est donc la conjuguée isogonale de la droite d'Euler OH.
L'importance de la droite d'Euler dans le triangle ABC conduit à la même importance pour sa conjuguée isogonale, c'est à dire pour cette hyperbole de Jerabek. Voir le lien ci-dessous.
On notera en particulier que G étant sur la droite d'Euler, le conjugué de G, à savoir le point de Lemoine K, est sur l'hyperbole de Jerabek.

Feuerbach

L'hyperbole de Feuerbach quant à elle, passe par le centre I du cercle inscrit qui est son propre conjugué isogonal et elle est donc la conjuguée isogonale de la droite OI.
Son centre est le point de Feuerbach, point de tangence du cercle d'Euler et du cercle inscrit.

Une page Web donnant de nombreuses et intéressantes propriétés des hyperboles de Jerabek, Kiepert et Feuerbach, ainsi que d'autres coniques associées, est ici. Impressionnant !

 

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