Coniques - Propriétés projectives

Les bases de géométrie projective étant censées connues, seules les propriétés relatives aux coniques sont discutées ici.

Coniques en géométrie projective

Elle peut être définie algèbriquement par son équation en coordonnées homogènes  aX² + bY² + cZ² + dXY + eXZ + fYZ = 0 
Ceci peut se mettre sous forme matricielle :

       (X)   ( a   d/2  e/2)
q(M) = (Y) × (d/2   b   f/2) × (X, Y, Z) = 0
       (Z)   (e/2  f/2   c )

Toutes les coniques propres sont alors "équivallentes", par simple changement de repère des coordonnées homogènes.
Dans un repère donné, une hyperbole coupe la droite de l'infini en deux points (les directions asymptotiques),
une parabole est tangente à la droite de l'infini (dans la direction de l'axe),
une ellipse ne coupe pas la droite de l'infini (ou dans le complexifié, la coupe en deux points imaginaires).

Conique définie par 5 points

Par 5 points d'un plan projectif il passe une conique et une seule, sauf cas dégénérés.
Algèbriquement évident, la conique étant d'équation aX² + bY² + cZ² + dXY + eXZ + fYZ = 0 en coordonnées homogènes,
les 6 coefficients (a,b,c,d,e,f) sont parfaitement déterminés, à un facteur près, par un système de 5 équations linéaires homogènes résultant des 5 valeurs de (X,Y,Z).

Polarité

Soit P un point donné, une droite d issue de P et coupant une conique Γ en deux points (réels ou imaginaires) M et N, le lieu du conjugué harmonique de P par rapport à MN sur d est une droite, appelée la polaire de P par rapport à Γ.
Nous prouverons ici cette propriété par projection de la propriété connue dans le cas d'un cercle.
La projection étant une homographie et conservant le birapport, donc la propriété de division harmonique, et les alignements de points.
Réciproquement (par dualité) les polaires de Q, Q∈ une droite d, se coupent en un point : le Pole de d.

Toutes les propriétés de la polaire sur un cercle se traduisent immédiatement en remplaçant cercle par conique (sauf celles faisant intervenir distances ou orthogonalité) :
Si U ∈ polaire de V, alors V ∈ polaire de U
Si U est le pole de d et V le pole de d', alors UV est la polaire du point d'intersection I=d∩d'
Si A est sur Γ, la polaire de A est la tangente en A.
Donc si A et B sur Γ, le point d'intersection des tangentes en A et B est le pole de AB.
Quelques poles et polaires dans la figure ci-contre :
AB polaire de P (intersection des tangentes en A et B)
d polaire de U, construction de la polaire :
deux droites issues de U coupent Γ en A,B,C,D. I = AC∩BD, V = AD∩BC, la polaire est IV.
UV polaire de I
AC polaire de T, d polaire de U, d' polaire de V, donc TUV alignés sur la polaire de I = intersection de d, d' et AC

Transformation par polaires réciproques :
application qui à tout point P fait correspondre la polaire de P.

Nota : l'équation de la polaire de A est q(M+A) = q(M) + q(A)

Théorème de Chasles-Steiner

Une homographie entre deux faisceaux de droites définit une conique et réciproquement.

Une "homographie entre faisceaux de droites" est définie par dualité à partir de l'homographie entre deux droites.
En notant A* et B* les deux faisceaux passant par A et B, une application h transformant une droite d de A* en une droite d'=h(d) de B*
Le théorème dit alors que le lieu de l'intersection de d et h(d) est une conique si et seulement si h est une homographie.
Soit O le centre de l'homographie A* → B*.
La conique est alors tangente en A à OA et en B à OB.

Démonstration :
Etant donné une conique Γ, deux points A et B de cette conique et O le pole de la droite AB (donc intersection des tangentes en A et B).
Soit C un point de Γ distinct de A et B. Il existe une homographie unique h de A* → B*, de centre O, qui transforme AC en BC (de centre O = elle transforme AB de A* en BO de B*, et AO de A* en AB de B*)
Pour tout point M ∈ Γ, les points O, I = AM∩BC et V = AC∩BM sont alignés sur la polaire de U = AB∩CM.
Ceci exprime que la droite IV passe par O et donc que AM est transformé en BM par l'homographie h

 

La réciproque s'obtient en partant de la conique unique définie comme étant tangente en A à OA, en B à OB et passant par C = d∩h(d), puis en définissant une homographie h' comme ci dessus, et en montrant que h = h' (qu'elles coïncident sur 3 droites de A* → B*).

Dans l'applet géogébra, les points déplaçables cyan, vert et orange définissent 3 droites de A* et les droites correspondantes de B*, donc une homographie A* → B*.
Le centre O de cette homographie est alors construit.
Une droite courante (d) du faisceau A* est définie par le point rouge déplaçable, puis transformée par l'homographie de centre O en la droite image dans B*.

A* et B* peuvent être définis par les points d'intersections de A* avec une droite d ne passant pas par A et une droite d' ne passant pas par B.
L'homographie A* → B* = h(A*) est alors équivallente à une homographie entre les droites d et d', ou même une homographie d'une droite d ne passant ni par A ni par B sur elle-même.
Ceci donne une formulation équivallente :

Etant données deux points A et B et une droite d ne passant pas par A et B. Une transformation h de d → d est une homographie si et seulement si l'ensemble des intersections de AM et Bh(M), M∈d est une conique.

Enfin une homographie étant une transformation qui conserve le birapport :

6 points ABCDEF sont sur une même conique si et seulement si (AC,AD,AE,AF) = (BC,BD,BE,BF)

(Le birapport des droites étant ici bien entendu défini par dualité)

Birapport sur une conique

Du théorème précédent, on déduit que le birapport des droites (PC,PD,PE,PF) ne dépend pas du point P choisi sur Γ et est donc uniquement fonction des points C,D,E,F sur la conique : on note (C,D,E,F), birapport des points sur Γ

Homographie sur une conique

Projection d'une droite sur une conique
Etant donné un point S d'une conique Γ et une droite d ne passant pas par S.
La correspondance M ↔ M', M ∈ Γ, M' ∈ d, S,M,M' alignés est évidemment une bijection, appellée projection de Γ sur d ou réciproquement.

Une homographie sur d induit alors une homographie sur Γ, conservant le birapport sur Γ.
Une telle homographie peut être étendue au plan tout entier en une homographie qui conserve Γ (ou réciproquement, une homographie qui conserve Γ est par restriction à Γ une homographie sur Γ)

Involution sur une conique

Une involution sur une conique est bien entendu une transformation h(h(M)) = M, différente de l'identité.
Toute homographie d'une droite projective sur elle même est le produit de deux involutions. Par projection sur la conique :

Toute homographie d'une conique sur elle même est le produit de deux involutions

Les involutions sur une conique peuvent toutefois être définies plus précisément :

Théorème de Fregier

Une homographie h d'une conique Γ sur elle même est une involution ssi   pour tout point M de Γ la droite Mh(M) passe par un point fixe S

La conique est ici définie par les 5 points rouges déplaçables.
L'involution est définie par A→A', B→B', M déplaçable sur la conique et MA'∩M'A en X sur d construit l'image de M par l'involution.

Soit S l'intersection de AA' et BB', et d la polaire de S.
S et d définissent une homologie du plan, A→A'
et comme (S,U,A,A') = -1, c'est une involution.
Elle échange (polaire de S !) tout point M avec M', (S,I,M,M') = -1.
La restriction de cette involution à Γ est alors une involution de Γ.

Axe d'une homographie sur une conique

Soit α une homographie sur une conique.  Pour tout couple M,N → M',N', le point d'intersection MN'∩M'N est sur une droite fixe :   L'axe de l'homographie.

Considérons l'homographie α définie par A→A', B→B', C→C' sur Γ.
Dans l'applet géogébra, A,A',B,B',C définissent la conique
Le point mauve définit C' et donc l'homographie (ABC) → (A'B'C')
Le point M est variable su la conique variable.

La transformation t_A qui à toute droite AM' du faisceau A* fait correspondre la droite A'M du faisceau A'* conserve le birapport des droites, puisque le birapport A'(M1,M2,M3,M4) = A'(M'1,M'2,M'3,M'4) = A(M'1,M'2,M'3,M'4), : l'homographie α sur Γ conserve le birapport, et celui ci ne dépend pas du choix A ou A' sur la conique.
La transformation t_A est donc une homographie (entre faisceaux de droites).
t_A(AA') = A'A et donc cette homographie est une projection. Par conséquent AM'∩A'M est sur une droite fixe : l'axe de cette projection d_A.
Nota : les propriétés d'une projection entre faisceaux de droites se déduisent par dualité des propriétés des projections entre deux droites.

De même l'homographie t_B B* → B'* donne BM'∩B'M ∈ d_B.
Il suffit de démontrer que d_A = d_B
Le point I = AB'∩A'B appartient à ces deux droites.
Soit J = A'C∩AC', bien entendu sur d_A
Considérons l'involution β de centre J qui transforme B en D1 et B' en D. Soit D' = α(D).
α et β conservant les birapports : (A,B,C,D) = (A',B',C',D') par α et (A,B,C,D) = (C',D1,A',B') par β et comme l'échange des points dans le birapport (C',D1,A',B') = (A',B',C',D1) ne change pas celui-ci, (A',B',C',D') = (A',B',C',D1) et donc D1 = D'
En d'autres termes J = BD'∩B'D et donc J ∈ d_B
Par conséquent d_A = d_B = IJ

Théorème de Pascal

Les côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une conique propre se coupent en 3 points alignés, et réciproquement.

Une démonstration élémentaire pour un cercle ici.
Par projection, cette démonstration est étendue à une conique quelconque.
Une démonstration directe en géométrie projective fait intervenir une homographie sur la conique et l'axe de cette homographie : A→D, E→B, C→F définit une homographie.
Les intersections AB∩DE, CD∩AF et BC∩EF sont alors alignées sur l'axe de cette homographie.
L'hexagone peut être croisé : si on choisit arbitrairement l'ordre des points ABCDEF, les "côtés opposés" restent (AB - DE), (BC - EF) et (CD - AF).

La réciproque permet de construire les points d'une conique définie par 5 points ABCDE.
Soit M le point à construire sur une droite Am quelconque, ABCDEM l'hexagone.
Pour construire M :

Les droites AB et DE se coupent en I
Une droite Am quelconque coupe CD en J
BC coupe IJ en K
KE coupe Am en M.

La construction d'une tangente en un des points donnés découle du cas particulier où M devient confondu avec E :
La droite Am = AE coupe CD en J, BC coupe IJ en K, KE est la tangente en E.

L'applet permet de déplacer les points ABCDE et le point m direction de la droite Am.
Les cas "presque" dégénérés (3 points alignés) donnent des tracés erratiques.

Inversement AB peuvent être confondus, étant alors donnée la tangente en A en guise de droite AB.
Ceci permet de construire les points d'une conique étant donnés 4 points et la tangente en l'un d'eux, ou 3 points et les tangentes en deux de ces points.
Enfin certains des points donnés peuvent être à l'infini, définis par leur direction (on construit alors des parallèles).

Centre - diamètres conjugués - axe

Considérons une conique Γ et les intersections Ai, Bi avec des droites parallèles de direction d.
Dans l'applet les points rouges définissent la conique, le point d déplace la droite parallèlement à elle-même, le point d' choisit sa direction.
Soit D_∞ le point à l'infini commun à ces droites, et Δ la polaire de D_∞.
Sur chaque droite, l'intersection avec Δ est le conjugué du point D_∞, donc le milieu des points d'intersections A et B avec la conique.

Les milieux des intersections de droites parallèles sont alignés.

La polaire Δ de D_∞ est alors appelée un diamètre conjugué de la direction d.
La justifiction du mot "diamètre" est que tous les diamètres conjugués des diverses directions d se coupent en un même point : le centre de la conique. De plus :

Le centre est le pôle de la droite de l'infini

On peut alors parler de diamètres conjugués, en considérant Δ et le diamètre conjugué Δ' de la direction Δ, Δ' // d.
Lorsque les deux diamètres conjugués sont perpendiculaires, ils sont alors appelés les axes de la conique.
Les tangentes en les extrémités du diamètre conjugué de d sont parallèles à d.

Nota : La polaire Δ de D_∞ passe par D'_∞, donc les points D_∞ et D'_∞ (à l'infini) sont conjugués par rapport à Γ.

Cas particulier de la parabole.
La droite de l'infini étant tangente en C_∞ à la parabole, la polaire de D_∞ passe par C_∞.
Toute direction est conjuguée de l'axe de la parabole
Ou en d'autres termes les milieux des intersections de droites parallèles sont alignés sur une droite parallèle à l'axe.
La polaire de C_∞ est la droite de l'infini elle même : il n'y a pas de centre (c'est à dire que le "centre" est C_∞, pole de la droite de l'infini).

: Faisceaux de coniques et applications