Coniques - Propriétés projectives (suite)

Faisceaux de coniques

Etant données deux coniques Γ et Γ' d'équations F = 0 et G = 0
Chacune des courbes d'équation k*F + (1-k)*G = 0, k un réel quelconque, est bien entendu une conique.
L'ensemble de ces coniques forme un faisceau de coniques
Les propriétés de ce faisceau dépendent des points d'intersections de Γ et Γ'
Il y a en général 4 points d'intersection (réels ou imaginaires) qui appartiennent donc à chaque conique du faisceau :
F = G = 0, donc k*F + (1-k)*G = 0 quel que soit k.

On classe les différents types de faisceau en fonction de la multiplicité des points de base :
4 points de base distincts
1 point double (un point et sa tangente) et 2 autres points distincts
2 points doubles : coniques bitangentes
1 point triple et un autre point : coniques osculatrices
1 point quadruple : coniques surosculatrices

Par un point extérieur aux points de base,   il passe une conique et une seule du faisceau

C'est à dire, étant donné un point M, l'équation en k : k*F(M) + (1-k)*G(M) = 0, F(M), G(M) non tous deux nuls à une solution et une seule.

L'applet ci-contre montre les coniques d'un faisceau de type II (tangentes en A et passant par B et C)
déterminé par les points déplaçables A,B,C ainsi que le point cyan définissant la tangente en A.
Le point M permet de choisir une conique du faisceau.
Lorsque M est aligné avec AB, AC ou BC, ou sur la tangente, la conique devient dégénérée.

Les faisceaux de coniques comportent des coniques dégénérées.
Les faisceaux de type I (4 points de base distincts) comportent ainsi 3 coniques dégénérées :
- La conique formée des deux droites AB,CD
- AC,BD
- AD,BC
les autres types de faisceaux comportent une ou deux coniques dégénérées seulement, éventuellement des droites doubles.
Ceci permet d'écrire l'équation des coniques du faisceau simplement, en choisisant pour Γ et Γ' deux coniques dégénérées du faisceau.

Les coniques d'un faisceau à points de base réels de multiplicité ≤2 peuvent facilement être construites par la méthode générale des coniques passant par 5 points, comme dans l'applet ci-dessus.

Homologies

Les coniques d'un faisceau de type II (tangentes en A et passant par B et C) se correspondent dans une homologie de centre A et d'axe BC

En effet, une telle homologie transforme A en A, B en B, C en C
Une tangente en A est transformée en elle même.
Donc une conique du faisceau est transformée en une conique passant par A,B,C et ayant la même tangente en A, donc en une conique du faisceau.

Les coniques d'un faisceau de type III (bitangentes en A et B) se correspondent dans une homologie de centre O = tA∩ tB et d'axe AB

Démonstration semblable.

Polarité

Rappelons que l'équation de la polaire de A par rapport à une conique Γ d'équation f(M) = 0 est f(M+A) - f(M) - f(A) = 0
En appelant F(M,A) = 1/2 (f(M+A) - f(M) - f(A)), la "forme polaire" de f, simplement F(M,A) = 0.

Alors la forme polaire de λf1 + μf2 est λF1 + μF2
La polaire de A par rapport à une conique quelconque du faisceau est donc λF1 + μF2 = 0.
Si aucune des deux F1, F2 n'est identiquement nulle, alors cette droite passe par un point fixe, intersection de F1 = 0 et F2 = 0.

Les polaires d'un point A par rapport aux coniques d'un faisceau   passent par un point fixe   Ce point est appelé le conjugué de A par rapport au faisceau.

Dans l'applet géogébra le faisceau est défini par les 4 points rouges. Le point vert choisit la conique du faisceau. L'applet construit alors la polaire de A par rapport à cette conique, et le conjugué A' par rapport au faisceau.
Les droites vertes sont les polaires de A par rapport aux coniques dégénérées (paires de droites) du faisceau.

Reste à étudier le cas où F1 ou F2 est identiquement nul.
Cela veut dire (F1 ≡ 0) que tout point M du plan est conjugué de A par rapport à la conique Γ1.
Ceci ne peut se produire que si la conique est dégénérée en deux droites et que A est leur point d'intersection.
A est alors dit "point double" du faisceau.
Dans ce cas l'équation de la polaire est juste μF2 = 0, et est donc une droite fixe, polaire de A par rapport à Γ2.

Si A est un point double du faisceau, sa polaire par rapport à toutes les coniques du faisceau est une droite fixe

Si F1 et F2 sont ≡0, le faisceau est un faisceau de coniques toutes dégénérées !

Inversement considérons le pôle d'une droite AB, c'est donc l'intersection des polaires de A et de B.
Si A et B ne sont pas des points doubles du faisceau, ces polaires passent respectivement par A' conjugué de A par rapport au faisceau et B', conjugué de B.
Elles forment alors deux faisceaux de droites A'* et B'*.
On peut définir une homographie entre ces faisceaux par la correspondance F1(A,M) → F1(A,B) polaire de A → polaire de B par rapport à Γ1, F2(A,M) → F2(A,B), idem par rapport à Γ2 et la polaire de A en la polaire de B par rapport à une même troisième conique Γ₀ = λ₀Γ1 + μ₀Γ2 du faisceau.
Cette homographie transforme alors toute droite λF1(A,M) + μF2(A,M) en λF1(B,M) + μF2(B,M)
Les points d'intersection d'une droite de A'* (polaire de A par rapport à une conique Γ du faisceau) et de la droite correspondante de B'* (polaire de B par rapport à Γ) sont donc sur une conique qui passe par A' et B' (Théorème de Chasles-Steiner). Soit :

Le lieu des pôles d'une droite fixe par rapport aux coniques d'un faisceau   est une conique.   C'est l'ensemble des conjugués des points de la droite par rapport au faisceau

Dans l'applet géogébra, le faisceau est défini par les points rouges déplaçables.
La droite est définie par les points bleus.
Le point vert choisit la conique (verte) du faisceau.
le point A est un point courant de la droite, A' son conjugué.
P est le pôle de la droite par rapport à la conique courante.
La conique lieu de A' et de P passe par les points doubles U_i du faisceau. (points doubles des coniques dégénérées en cyan)
Ce n'est pas elle même une conique du faisceau, bien sûr !

Un cas particulier : le lieu des pôles de la droite de l'infini est une conique.
Ou en d'autres termes :

Le lieu des centres des coniques d'un faisceau est une conique

Intersection avec une droite

On a le résultat suivant, dû à Desargues.

Etant donnés un faisceau de coniques et une droite d ne passant par aucun point de base du faisceau.   Les coniques du faisceau coupent d en deux points qui se correspondent dans une involution :  L'involution de Desargues sur d

Considérons deux coniques Γ1 et Γ2 du faisceau.
Les paires de points d'intersection de ces coniques avec d définissent une involution I par M1↔M'1, M2↔M'2.
Soient U et V les points fixes de cette involution.
Alors M1,M'1 sont conjugués par rapport à U,V ou en d'autre termes U et V sont conjugués par rapport à Γ1, c'est à dire la polaire de U par rapport à Γ1 passe par V.
De même la polaire de U par rapport à Γ2 passe aussi par V, qui est ainsi le conjugué de U par rapport au faisceau.
Les polaires de U par rapport à toute conique Γ du faisceau passent donc toutes par V.
Par conséquent les intersections M,M' de Γ avec d sont conjuguées par rapport à U et V, et donc se correspondent dans l'involution I.

Corollaire :

Il existe généralement deux coniques d'un faisceau tangentes à une droite donnée :   Les points de contact sont les points fixes de l'involution de Desargues sur d

On notera que ces points sont les intersections de la droite avec la conique lieu des pôles de cette droite par rapport au faisceau.

Applications

Lieux géométriques

L'application directe des théorèmes de Chasles-Steiner, ou de la réciproque du théorème de Pascal permettent de définir de nombreuses coniques ainsi.

Donnons un exemple :
Soient 2 droites (d) et (d') et 3 points A, B, C
Un point M variable sur (d), MA coupe (d') en N, NB et MC se coupent en P
P décrit une conique.
C'est une application directe du théorème de Chasles-Steiner :
La projection de centre A de la droite (d) sur la droite (d') M→ N définit une homographie entre ces deux droites, et par conséquent une homographie entre les faisceaux de droites B* et C*   CM → BN.
Une autre façon de voir les choses est de considérer les points d'intersection O de (d) et (d'), D de AB avec (d) et E de AC avec (d').
La construction est alors celle de la conique passant par B,C,D,E,O :
L'hexagrame de Pascal BDOECP donne les intersections A de BD et EC, M de DO et CP, et N de OE et BP alignées.

Cette conique intervient dans une solution du problème des triangles gigognes

 

Par dualité, on peut aussi obtenir des coniques comme enveloppes de droites.
Exemple :
Etant donnés un triangle TUV et deux points P et Q.
On choisit un point A sur UV. AP et AQ coupent TV et TU en B et C.
L'enveloppe de la droite BC est une conique.
Ceci se prouve avec le dual du théorème de Chasles-Steiner :
Le produit des deux projections B→A et A→C est une homographie H de la droite TV sur la droite TU.
Alors pour tout point B de TV, la droite BH(B) = BC enveloppe une conique.

On peut tracer la conique en obtenant le point de contact avec BC.
On remarque que les droites TU et TV sont des tangentes quand APT alignés, ou AQT alignés.
Quand A vient en U la droite UPM est aussi une tangente, de même que la droite VQN quand A vient en V.
En appelant J le point de contact (inconnu) sur BC, I l'intersection des tangentes UPM et VQN, l'hexagone BMINCJ donne avec le théorème de Brianchon BM, CN et IJ concourantes. Nota : les côtés CJ et BJ sont tangents en J.
Ceci permet de construire J et ainsi de tracer la conique, lieu de J.
On peut avec la même méthode obtenir les points de contact avec les autres tangentes.

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