Coniques projectives - constructions

Les constructions étudiées ici concernent donc essentiellement des coniques définies par 5 points (ou par dualité par 5 tangentes), en prenant en compte les cas où certains de ces points sont confondus.
La construction d'autant de points qu'on veut ("tracé") de la conique à partir de ces 5 points a été vue de nombreuses fois, elle utilise le théorème de Pascal. Nous n'y reviendrons pas, voir ici.

En cas de points confondus, la droite qui les joint est tangente à la conique. Ceci permet d'adapter la construction précédente en :
- Construction de la tangente en un des points donnés
- Tracé de la conique étant donnée une tangente, son point de contact et 3 autres points
- ou deux tangentes, leurs points de contact et 1 autre point

Intersections avec une droite

Lorsque la droite passe par un des points donnés, la construction précédente donne immédiatement le deuxième point d'intersection.
Le problème est plus délicat s'il s'agit d'une droite quelconque.

Une première méthode : on transforme par une homologie la conique en un cercle.
La droite est transformée par cette homologie en une droite qui coupe le cercle en les deux images des intersections cherchées.

La tangente en un des points O donné est construite, et un cercle tangent en O choisi, image de la conique dans une homologie de pôle O.
Les images des points P1, P2, P3 → P'1, P'2, P'3 sont construites simplement comme intersection de OP1 avec le cercle etc.
L'image de la droite (d) est construite par l'image de deux de ses points : ici U et V, U intersection de P1P2 avec (d) et donc U' intersection de P'1P'2 avec OU, et de même pour V sur P2P3.
L'image de (d) est alors la droite U'V', dont les points d'intersection X', Y' avec le cercle sont renvoyés en X et Y sur (d) par intersection de (d) avec OX' et OY'.

Dans l'applet géogébra, les points rouges définissent la conique, les points bleus la droite (d).
Le point jaune choisit le cercle quelconque tangent.

D'autres constructions s'avèrent au final moins simples (nécessitent de construire d'avantage de points)
Par exemple :
Le faisceau des coniques passant par ABCD coupe (d) en définissant sur (d) une involution I de Desargues, échangeant les points d'intersection avec (d).
De même le faisceau défini par ABCE induit une involution J.
Les points d'intersection X, Y cherchés se correspondent dans I et dans J, ils sont donc les points fixes de l'homographie I◦J.
Ses points fixes sont obtenus en la projetant sur un cercle, les points fixes de l'homographie sur le cercle étant les points d'intersection avec l'axe de l'homographie sur le cercle.

Chacune des involutions sur (d) est déterminée par les points d'intersection avec (d) des coniques dégénérées des faisceaux. Comme il s'agit d'involutions, deux points suffisent. (AB,CD) et (AD,BC) donnent M1→M'1, M2→M'2
On économise quelques droites en prenant pour le deuxième faisceau (AB, CE) et (AE, BC) soit M1=N1→N'1, N2→N'2=M'2
Chaque involution est projetée sur un cercle, les centres des involutions sur le cercle sont alors déterminés : intersections I de mm' et J de nn'.
Le produit de ces deux involutions est une homographie d'axe IJ, ses points fixes sont donc les intersections x et y de IJ avec le cercle, qui sont projetés sur la droite (d) en X et Y.
Dans l'applet géogébra la conique est définie par les points déplaçables rouges ABCDE, la droite par les points déplaçables bleus. Le cercle quelconque et la projection par les points déplaçables jaunes.

Enfin une troisième construction :
Rappelons que la polaire d'un point P est le lieu des conjugués harmoniques, réels ou imaginaires, de ce point. C'est à dire des conjugués harmoniques de P par rapport aux points d'intersection d'une sécante quelconque issue de P.

Considérons alors la polaire du point à l'infini de (d).
Il s'agit en fait du "diamètre conjugué" de la direction (d), lieu des milieux m des sécantes DD' parallèles à (d), puisque (∞, m, D', D) = -1 ⇔ m milieu de DD'
Cette polaire coupe donc (d) au point M milieu de XY.

Considérons maintenant la polaire d'un point quelconque P de (d).
En tout cas différent de M, sinon on n'obtient pas une nouvelle relation, mais la même : M milieu de XY.
Rappelons la construction classique de la polaire de P :
Tracer deux sécantes quelconques PCC'' et PDD''.
CD et C''D'' se coupent en I, CD'' et C''D se coupent en J
IJ est la polaire de P.

Soit U l'intersection de la polaire de P avec (d). (P,U,X,Y) = -1 et en prenant comme origine le milieu M : MX² = MY² = MP.MU
La construction de MX = MY est alors classique : la longueur de la tangente MT de M au cercle de diamètre PU.
Si M est intérieur au segment PU, il n'y a pas de tangente réelle, ni de points d'intersection réels non plus.

Bien entendu les parallèles à (d) et les sécantes issues de P sont choisies comme passant par des points donnés C et D de la conique, sinon on tourne en rond ! Leur second point d'intersection (C' D' C" D") est alors construit par l'hexagramme de Pascal.
Dans l'applet ci-dessus, les 5 points rouges dont C et D définissent la conique, les deux points bleus dont P définissent la droite (d)

Intersection de deux coniques

Algébriquement, cette intersection est du 4ème degré et ne peut donc pas être construite à la règle et au compas dans le cas général.
La réduction du degré peut être obtenue si on connait déja 2 points d'intersection.
Soient donc deux coniques se coupant en A et B. Il s'agit de construire les deux autres points d'intersection.
Théorème :

Soient deux coniques se coupant en A,B,C,D. Une droite passant par A recoupe les deux coniques en M,M' Une droite passant par B recoupe les deux coniques en N,N' MN, M'N' et CD sont concourantes.

Appliquons le théorème de Pascal aux deux hexagrammes MACDBN et M'ACDBN'
Sur Γ, les points d'intersection I = MA∩DB, J = AC∩BN et O = CD∩MN sont alignés,
donc O est l'intersection de IJ et CD.
Sur Γ' : les points d'intersection I' = M'A∩DB, J' = AC∩BN' et O' = CD∩M'N' sont alignés,
donc O' est l'intersction de I'J' et CD.
Comme la droite MA est M'A, I = I', et de même J = J', et donc O = O'.

En répétant deux fois la construction, on obtient deux points O1 et O2, définissant la droite CD et donc les points d'intersection C et D.
Dans l'applet les deux coniques sont définies chacune par les 5 points rouges, dont les deux points communs A et B.
Les points MM'NN' sont aisément construits, car les droites MM' ou NN' passent par un des points donnés.
Les points cyan choisissent les droites AM1M'1, AM2M'2, BN1N'1, BN2N'2.
Par contre l'intersection avec la droite CD est plus compliquée (droite quelconque, voir ci dessus)
Ici en jaune la conique Γ est transformée en un cercle tangent en B, l'image o1, o2 des points O1 et O2 est construite.
L'intersection de la droite image o1o2 avec le cercle est reportée sur la droite O1O2 pour donner C et D.

L'usage d'une homologie pour construire C et D est toutefois inutile, et la construction simplifiée, si 3 des points d'intersection sont connus (ABC donnés, construire D), ou si l'une des deux coniques est un cercle.
La construction s'effectue alors à la règle seule.

: conique définie par...