Coniques projectives - constructions suite

axes/centre/foyers d'une conique définie par 5 points.

Construisons par la méthode traditionnelle le point A' de la conique avec AA' // BC (non détaillée dans l'applet ci dessous, voir ici).
La droite joignant les milieux M et N de AA' et BC est un diamètre de la conique.
En répétant la construction, on obtient un deuxième diamètre PQ, et donc le centre O de la conique.
(si ces directions sont parallèles, c'est une parabole, on n'obtient que la direction de l'axe)
La direction BC est conjuguée de MN, et on construit une paire de diamètres conjugués MN, M'N' en traçant la parallèle à BC en O.
Le problème est alors d'en déduire une paire de diamètres conjugués orthogonaux : ce sont les axes de la conique.
La conjugaison des diamètres définit une involution du faisceau O* sur lui même.
Cette involution est définie par la donnée de deux couples de diamètres conjugués : ceux construits précédemment (MN,M'N') et (PQ,P'Q') .
Soit un cercle de centre o quelconque et passant par O. Projetons le faisceau O* sur ce cercle, on obtient une involution sur le cercle dont on détermine le centre ω : intersection de mm' et pp'
Le diamètre uu' passant par ω définit deux droites Ou et Ou' homologues dans O* et orthogonales : ce sont donc les axes cherchés.

On peut ensuite obtenir les sommets de la conique, par intersections avec les axes précédemment construits. Comme ceci est l'intersection avec une droite "quelconque" (ne passant pas par des points donnés), nous préférerons construire directement les foyers. Ceci évite d'utiliser cette construction compliquée.
Construisons une tangente en un point donné par la méthode habituelle (Pascal), et traçons la normale.
Elles coupent l'axe focal en I et J, alors (F,F',I,J) est une division harmonique (tangente et normale sont les bisectrices des rayons vecteurs BF, BF'), donc OF² = OF'² = OI.OJ.
Ceci donne une construction directe de OF comme longueur de la tangente issue de O au cercle de diamètre IJ.
L'axe focal est ainsi celui pour lequel les points I et J sont du même côté de O.
La projection d'un foyer sur la tangente est sur le cercle principal, ce cercle donne les sommets sur l'axe focal.
La corde du cercle principal perpendiculaire en F à l'axe est égale au petit axe (ellipse).
Pour une hyperbole, les tangentes au cercle principal issues du foyer sont perpendiculaires aux asymptotes, d'où celles-ci.

Autre construction :

Une construction directe évitant aussi la construction de l'intersection d'une droite quelconque avec la conique effectue l'intégralité de la construction sur la transformée par homologie :
Construire la tangente en P4 = O à la conique (par Pascal, comme d'hab).
Choisir un cercle (o) quelconque tangent en O à la conique, image de la conique par une homologie.
Les images p1, p2, p3, p5 sont obtenues par intersection du cercle et des droites OP1 etc.
Construire l'axe de cette homologie : U = P2P3∩p2p3, V = P1P5∩p1p5, l'axe est UV.
Construire l'image de la droite de l'infini : Une parallèle à P2P3 en O coupe p2p3 en s, image du point à l'infini dans la direction de P2P3.
L'image d_∞ de la droite de l'infini est alors la parallèle en s à l'axe UV.

Le pôle de la droite de l'infini est le centre Ω de la conique, le pôle de d_∞ par rapport au cercle est w, image de Ω dans l'homologie.
Le pôle de d_∞ peut s'obtenir comme intersection de la perpendiculaire en o à d_∞ et de la polaire de s, construite par les deux sécantes sOs1 et sp2p3. (ou par deux polaires de s et d'un autre point de d_∞).
Si on veut cela donne déja le centre de la conique, mais laissons le tranquille pour l'instant.
Soit x l'intersection de d_∞ avec la tangente en O.
Le cercle de centre x et passant par O est orthogonal au cercle (o).
Son diamètre yy' sur d_∞ donne donc deux points y et y' conjugués par rapport au cercle.
OY = Oy et OY' = Oy' sont donc deux directions conjuguées, et comme elles sont perpendiculaires, ce sont les directions des axes de la conique.
On construit en fait directement les axes eux même comme images des droites conjuguées par rapport au cercle wy et wy'.
wy coupe le cercle en a et b, images des sommets A et B de la conique.
ap2 coupe l'axe UV en Ia. IaP2 et Oa se coupent en A image de a.

De même pour B, C, D. Le centre est le milieu commun de AB et CD.
Si la conique est une hyperbole, l'un des deux (A,B) (C,D) est imaginaire

Une fois les axes obtenus et les sommets, la construction des foyers est un jeu d'enfant, par c² = a² - b², ou comme ci-dessus.
Dans le cas de l'hyperbole (seulement deux sommets) les asymptotes sont obtenues directement par l'intersection de la droite de l'infini avec la conique.
Comme on a déja l'image de la conique par homologie, l'intersection de l'image d_∞ et du cercle image donne directement les directions des asymptotes.
Les asymptotes elles-mêmes étant les parallèles par le centre de la conique

Notons que les foyers d'une conique sont définis projectivement comme les intersections de tangentes issues des points cycliques (points de coordonnées (1,±i,0). Ceci semble peu pratique puisque ces points et ces tangentes sont ... imaginaires.

Parabole par 4 points

Les 4 points définissent un faisceau de coniques, qui induit une involution de Desargues sur la droite de l'infini.
Les deux coniques du faisceau qui sont tangentes à la droite de l'infini (donc des paraboles), le sont en les points fixes de cette involution.
On peut de même construire une conique passant par 4 points donnés et tangente à une droite donnée (à distance finie).
Montrons tout d'abord ce cas, conique par 4 points et une tangente :

Les coniques dégénérées (AB, CD) et (AC, BD) coupent (d) en M,M' et N,N'.
Ces points sont projetés en m,m',n,n' sur un cercle quelconque.
L'axe de l'involution est IJ, avec I = mn'∩m'n et J = mn∩m'n'.
Ses intersections u et u' avec le cercle (points fixes) sont projetées en U et U' sur (d), points de contact des coniques et de la droite.
Ayant obtenu ainsi un 5ème point, la suite comme précédemment. Bien entendu la tangente choisie lors des constructions est la droite donnée d.

Dans le cas de la parabole, la construction pratique est juste un tout petit peu différente car les points sur la droite donnée sont remplacés par des directions (points à l'infini) :
parallèle à (AB) en S donnant m etc.

On n'obtient ainsi que la direction de l'axe.
Le foyer est alors déterminé : tous les rayons parallèles à l'axe se réfléchissent sur la parabole en concourant au foyer, obtenu ainsi par l'intersection des rayons réfléchis sur deux tangentes.
L'axe est alors obtenu comme passant par le foyer.
La projection du foyer sur une tangente donne la tangente au sommet, donc le sommet. (constructions pas montrées dans l'applet Géogébra, vu que déja vues)

Une autre construction pour la parabole par 4 points ici, due à Newton.

Dualité

Les constructions précédentes se transforment par dualité en constructions concernant les coniques définies par leurs tangentes (sans les points de contact). Toutefois le tracé d'enveloppes de droites étant peu commode, nous nous ramènerons aux cas précédents en déterminant les points de contact par le théorème de Brianchon :

Conique définie par 5 tangentes

Sans perte de généralité (points à l'infini) ces tangentes se coupent en A,B,C,D,E
Soit T le point de contact avec AE.
Les segments AT et TE peuvent être considérées comme deux côtés de l'hexagone tangent ABCDET, tous deux tangents en le sommet T à la conique.
Brianchon donne alors : AD, BE et CT concourantes.
Ceci donne une construction immédiate de T.
En répètant cette construction avec les autres tangentes, on obtient les autres points de contact.
Et donc la conique définie alors comme conique par 5 points.

La construction peut aussi donner une tangente courante MN, M sur DE et N sur AE :
Choisissant un point M quelconque sur DE, on construit le point N avec AD, BM, CN concourantes.