Parabole - suite

Détermination d'une parabole

C'est à dire en fait construire le foyer et la directrice

L'axe et deux points

Ce n'est possible que si AB n'est ni parallèle (pas de solution) ni perpendiculaire à l'axe (indéterminée).
On obtient immédiatement deux autres points C et D symétriques de A et B par rapport à l'axe.
En considérant le 5ème point comme étant le point à l'infini x dans la direction de l'axe, le théorème de Pascal permet alors de construire la tangente en A :
AB et CD se coupent en O.
AC et la parallèle en B à l'axe se coupent en U.
OU et la parallèle en D à l'axe se coupent en V.
AV est la tangente en A à la parabole.
La réflexion sur cette tangente de la parallèle en A à l'axe coupe l'axe au foyer F.
La directrice est la perpendiculaire à l'axe au point H, symétrique de F par rapport à la tangente.

3 points et la direction de l'axe

C'est en fait une conique définie par 5 points, les 3 donnés et deux points confondus à l'infini dans la direction de l'axe (la parabole est tangente à la droite de l'infini).
On construit immédiatement un 4ème point fini D car la droite joignant les milieux I et J de deux sécantes parallèles AB et CD est parallèle à l'axe.
En considérant le 5ème point comme étant le point à l'infini x dans la direction de l'axe, le théorème de Pascal permet alors de construire les tangentes en A et B :
BC et AD se coupent en U.
AB et la parallèle à l'axe issue de D (Dx) se coupent en V
UV et la parallèle à l'axe issue de C (Cx) se coupent en W
AW est la tangente en A.
Opérer de même pour la tangente en B, en inversant le role de A et B.
Nota : les deux tangentes se coupent en K, pôle de (AB) sur la droite (IJ)
Les réflexions sur ces tangentes de rayons parallèles à l'axe se coupent au foyer F de la parabole.
Ce qui donne l'axe, puis la directrice via le point H symétrique de F par rapport à la tangente en A, ou AH=AF.

4 points

Il y a en général deux solutions. Si ABCD n'est pas un quadrilatère convexe, il n'y en a pas.
Une construction due à Newton :
Les diagonales AC et BD se coupent en O.
Le cercle de diamètre AC coupe la perpendiculaire en O à AC au point K. OM = OM' = OK est reporté sur AC. OM² = OM'² = OA.OC
De même le cercle de diamètre BD coupe la perpendiculaire en O à BD au point K' et ON = OK' est reporté sur BD. ON² = OB.OD
MN et M'N sont les directions des deux paraboles passant par les points ABCD.

On est alors ramené au problème précédent : 3 points (et même déja 4) et la direction de l'axe
En utilisant le théorème de Pascal et le point à l'infini dans la direction de MN comme 5ème point, on peut alors tracer les tangentes à la parabole en A et D.
La parallèle à MN issue de C coupe AD en U. UO coupe la parallèle en B à MN au point V. AV est la tangente en A.
On construit de même la tangente en D en échangeant A↔D et B↔C, DV' est la tangente en D.

Des parallèles à MN en A et D se réfléchissent alors sur les tangentes en des rayons passant par le foyer F.
Le symétrique H de F par rapport à la tangente en A (ou AH = AF) est sur la directrice, qui est ainsi la perpendiculaire à MN en H.

Nota il semble que bien que la directrice et le foyer soit construits effectivement, geogebra peine parfois à tracer la parabole ayant ce foyer et cette directrice ???

3 tangentes et la direction de l'axe

Les projections du foyer sur les 3 tangentes sont sur la tangente au sommet, donc alignés.
La tangente au sommet est alors la droite de Simpson du foyer pour le triangle ABC, donc le foyer est sur le cercle circonscrit à ABC.
D'où la construction :

De C tracer la perpendiculaire à la direction de l'axe. Elle coupe le cercle circonscrit en P.
La perpendiculaire en P à AB coupe le cercle circonscrit au foyer F.
Le symétrique de F par rapport à AB donne un point K sur la directrice, la perpendiculaire à l'axe en K donne la directrice.
La parallèle en K à l'axe donne le point de contact T sur AB.
Les symétriques de F par rapport à BC et AC donnent de même les autres points de contact.

Les points sur la directrice définissent la directrice comme la droite de Steiner du foyer. Cette droite (la directrice donc) passe par l'orthocentre H de ABC.
Ceci fournit une autre construction : la directrice est la perpendiculaire à la direction de l'axe passant par l'orthocentre H de ABC.
Le foyer est alors l'intersection des symétriques de la directrice par rapport aux côtés.

4 tangentes

Comme précédemment, le foyer est sur le cercle circonscrit à ABC, mais aussi sur les cercles circonscrits à ADE, CDG et BEG. Ces 4 cercles ont un point commun, le point de Miquel du quadrilatère complet ABCDEG.
D'où la construction : les cercles circonscrits à ABC et ADE se coupent en F.
Les symétriques H et K de F par rapport à deux côtés AB et AD définisent la directrice.
Les perpendiculaires à la directrice en ces points définissent les points de contact T1 et T4, et de même pour les deux autres côtés.

Les orthocentres des 4 triangles sont alignés sur la directrice : droite de Steiner.
Ceci fournit une autre construction directe de la directrice en construisant les orthocentres H1 et H2 des triangles ABC et ADE,
puis les symétriques de la directrice par rapport aux côtés AB et AC se coupent au foyer F.

Et ensuite...

Il y a d'autres cas intéressants avec un mélange de points et/ou tangentes données. Tous ne sont pas constructibles à la règle et au compas.
Par exemple, étant donné le sommet et deux points, il y a suffisamment d'information pour construire la parabole.
Malheureusement, ceci conduit à une équation du 3^ème degré, et donc généralement pas constructible à la règle et au compas.
Plus de détails sur ce cas.

Aussi construire une parabole, de foyer donné.