Parabole
La parabole est définie comme l'ensemble des points équidistants du foyer F et de la directrice (d)L'axe est la perpendiculaire à (d) issue de F.
Le paramètre p est la distance de F à la directrice.
D'un point de vue projectif, une parabole est une conique tangente à la droite de l'infini.
C'est l'intersection d'un cone avec un plan parallèle à une génératrice du cone.
L'équation générale d'une conique a.x² + b.x.y + c.y² + d.x + e.y + f = 0 donne une parabole si b² - 4.a.c = 0, hors cas dégénérés.
La direction de l'axe est y/x = t = -b/2c, solution de a + b.t + c.t² = 0
Un cas particulier de cette équation est y² = 2.p.x, le repère des coordonnées étant centré au sommet de la parabole, et l'axe de la parabole étant Ox.
Constructions de points d'une parabole
Points sur une parallèle à l'axe
Soit donc à construire les points d'une parabole sur une parallèle à l'axe issue de H.
La médiatrice de HF coupe la droite en M : MF = MH. Donc M est sur la parabole.
La médiatrice est tangente en M à la parabole.
- Preuve 1 : simple, mais suppose l'existence de la tangente.
Soit M' un autre point de la parabole, H' sa projection sur la directrice.
FM' = M'H' (définition).
M'H > M'H' (M'H' est la distance de M' à la directrice)
Donc M'H > M'F et M' est du même côté que F de la médiatrice.
Tous les points sauf M sont donc strictement du même côté que F de la médiatrice.
Celle ci est donc la tangente à la parabole en M.
Car "la parabole admet une tangente en chaque point" (hum... visiblement).
- Preuve 2 :
Soit M' un autre point de la parabole.
M et M' sont les centres de cercles passant par F et tangents en H et H' à la directrice.
La droite des centres MM' est perpendiculaire à l'axe radical de ces deux cercles
(lieu des points ayant même puissance par rapport aux deux cercles).
Cet axe radical coupe la directrice en I. I est le milieu de HH' :
IH² = IH'² = puissance de I.
Quand M' → M, H' → H et I → M. La droite FI → FH
La perpendiculaire MM' de M à FI admet donc une limite (donc une tangente) qui est la perpendiculaire de M à FH.
Comme MH = MF, cette perpendiculaire est la médiatrice de FH.
Comme le triangle HMF est isocèle, la tangente est aussi la bissectrice de l'angle HMF :
Un rayon (lumineux) parallèle à l'axe se reflète en M et passe au foyer F.
Points sur une parallèle à la directrice
Soit à trouver les points sur une perpendiculaire en A à l'axe.
Le cercle de centre F et de rayon HA coupe la droite en M et M'.
Ce cercle coupe l'axe en I et J, MF = HA = KM = FI donc KMFI est un losange
MF = KM, donc M est sur la parabole. MI est la médiatrice de KF, donc la tangente.
MJ étant perpendiculaire à MI (cercle de diamètre IJ), MJ est la normale.
KMJF est aussi un losange et FM = KM = FJ
On en déduit immédiatement AJ = HF = constante = p
La sous normale (AJ) est constante et égale au paramètre
Quand F est en A, FM = AH = FH = p et donc
La 1/2 corde focale perpendiculaire à l'axe est égale au paramètre
Points sur un rayon vecteur
Les points H et H' sont sur les bissectrices de l'angle de (v) avec l'axe :en effet, les angles MHF = MFH (M sur la médiatrice de HF) et les angles alternes internes MHF = HFK, donc MFH = HFK.
Les tangentes en M et M' sont perpendiculaires (respectivement perpendiculaires aux bissectrices FH, FH').
Elles se coupent sur la directrice (au milieu I de HH', "droites des milieux" dans HFH').
La construction de I comme pôle de MM' donne I conjugué de F.
| La directrice est le lieu des points d'où on voit la parabole sous un angle droit
La directrice est la polaire du foyer. |
Points sur une droite quelconque
non parallèle à l'axe.Soit F' le symétrique de F par rapport à la droite. MH = MF = MF' : M est le centre d'un cercle passant par F,F' et tangent à la directrice.
FF' coupe la directrice en P (la droite non parallèle à l'axe !), PH² = PF.PF' puissance de P par rapport à ce cercle.
D'où la construction : I le milieu de FF' (intersection de la droite avec sa perpendiculaire issue de F)
Le cercle de diamètre PI coupe celui de diamètre FF' en X. PX est tangente au cercle de diamètre FF' et PX² = PF.PF'
Construire PH1 = PH2 = PX sur la directrice.
Si PF et PF' de signe contraire il n'y a pas de solution.
Si F' est en P, la droite est tangente à la parabole, H1=H2=P.
Le point rouge déplace la droite parallèlement à elle même, le point cyan en fait varier la direction.
La parallèle à l'axe en P coupe la parabole en T et la tangente en T
est la médiatrice de PF, donc parallèle à la droite donnée.
P étant le milieu de H1H2, la droite PT coupe M1M2 en son milieu G
Si on fait varier la sécante parallèlement à elle même, P est fixe et donc :
| Les milieux de cordes parallèles sont alignés sur une parallèle à l'axe.
Cette parallèle coupe la parabole en un point où la tangente est parallèle à ces cordes. |
On retrouve ici la notion de diamètres conjugués sur une conique :
Dans une parabole, tous les diamètres sont conjugués à l'axe
Tangente passant par un point
La tangente étant la médiatrice de FH, AH=AF et le cercle de centre A passant par F coupe (d) en H1 et H2 donnant les deux tangentes en A à la parabole.
Tangente de direction donnée
Une perpendiculaire issue de F à (L) coupe la directrice en H.La médiatrice de FH, parallèle à (L) donc, est la tangente cherchée.
Centre de courbure - cercle osculateur
La perpendiculaire en F à MF coupe la normale en I. MC = 2MI.C'est un peu plus simple que la construction générale pour une conique :
La normale coupe l'axe en J, la perpendiculaire en J à la normale coupe MF en K, la perpendiculaire en K à MF coupe la normale en C.
en effet FJ = FM (voir ci-dessus) et FK (triangle rectangle MJK)
Le cercle osculateur coupe la parabole en 3 points confondus en M, plus un 4ème point.
Le lieu de C est l'enveloppe des normales à la parabole.
le rayon de courbure au sommet de la parabole est égal au paramètre.
Démonstration directe :
Soient deux points M et M' [voisins] de la parabole.
La normale est la bissectrice de l'angle du rayon vecteur FM et de la parallèle à l'axe
Soit θ l'angle des rayons vecteurs FM et FM', l'angle des normales est donc θ/2, elles se coupent en C.
Construisons le cercle circonscrit à FMM'.
La médiatrice de MM' coupe ce cercle en I et l'angle inscrit MIM' = θ
Le cercle de centre I passant par M et M' est donc le lieu de tous les points d'où on voit MM' sous l'angle θ/2, le point C est donc sur ce cercle.
Quand M'→M, C→ le centre de courbure.
La médiatrice de MM' et les deux normales sont confondues et les deux cercles sont tangents à la parabole en M.
Le point C est alors l'intersection de la normale en M et du cercle de centre I, et donc IC = MI, soit MC = 2MI
I devient diamétralement opposé à M sur le cercle (MFM'), et donc MF _|_ FI.
La construction générale pour une conique quelconque s'applique aussi ici : en effet FJ = FM = FK
construire une parabole étant donné etc...
