Coniques - Propriétés focales

Une conique "à centre" peut être définie comme lieu des points dont la somme (ellipse) ou la différence (hyperbole) à deux points fixes (foyers) est constante.
La parabole échappe à cette définition (elle n'a qu'un seul foyer, et pas de centre).

Cette définition prise au pied de la lettre donne la construction "du jardinier" de l'ellipse :
Une ficelle de longueur 2a est tendue entre deux piquets distants de 2c < 2a.
Elle est aussi utilisée en navigation : la différence de temps de propagation depuis deux balises nous situe sur une hyperbole.
La différence de phase nous situe sur une famille d'hyperboles (a = k.λ) : interférences, zones de silences...

Cercle directeur

Soit un cercle de rayon 2a centré en F, et FF' = 2c.
M un point quelconque de ce cercle.
La médiatrice de MF' coupe MF en P : PM = PF'
Si F' est intérieur au cercle (c<a) : PF = MF - PF = 2a - PF et donc PF + PF' = 2a, P décrit une ellipse de foyers F et F'.
Si F' est extérieur au cercle (c>a) : PF = PM - MF = PF' - 2a et donc PF' - PF = 2a, P décrit une branche d'hyperbole de foyers F et F',
ou bien PF = PM + MF = PF' + 2a et PF - PF' = 2a : autre branche de l'hyperbole.

Cercle principal

Le lieu du milieu Q de MF' est bien entendu un cercle (homothétique du cercle directeur) :
cercle principal de l'ellipse/hyperbole, de diamètre 2a.
Lorsque MFF' sont alignés, P est sur ce cercle : sommets de l'ellipse/hyperbole. Pour une ellipse, il y a deux autres sommets : lorsque MF' perpendiculaire à l'axe focal FF'.
Ceci définit le petit axe = 2b de l'ellipse.
Dans le triangle rectangle FMF' on a alors 4a² = 4c² + MF'² = 4c² + 4b²

a² = c² + b²

Pour une hyperbole a² - c² négatif mais on pose alors b²  = c² - a²

Lorsque PF' est perpendiculaire à l'axe focal, en appelant p = PF', on a :
(2a ± p)² = p² + 4c² = 4a² ± 4b²
Avec ± selon qu'il s'agit d'une hyperbole (FP>FM) ou d'une ellipse (FP<FM), soit :

p = b²/a

Cette quantité est appelée paramètre de la conique : la demi-corde focale perpendiculaire à l'axe.
Nota : le paramètre d'une parabole est aussi la demi-corde focale perpendiculaire à l'axe !

Théorème de Dandelin

Etant donné un cône (C) de sommet S coupé par un plan (P), considérons les sphères inscrites dans le cône et tangentes au plan, respectivement en F et F'.
Soit M un point de l'intersection du cone et du plan.
La droite MS est tangente aux deux sphères en T et T'
MF = MT et MF' = MT' (tangentes issues de M aux sphères)
et donc MF+MF' = MT+MT' = TT' = constante si les deux sphères sont du même côté de S (ellipse)
|MF - MF'| = |MT - MT'| = TT' = constante si les deux sphères sont de part et d'autre de S (hyperbole)
Ceci prouve que les définitions "somme/différence des distances au foyers", et "section d'un cône par un plan", sont équivalentes.
Dans le cas de la parabole, il n'y a qu'une seule sphère tangente et ce raisonnement ne s'applique pas.

Directrices

Soit Π le plan contenant le cercle des points de contact de la sphère et du cone.
(D) l'intersection des plans (P) et Π
Soit K la projection de M sur ce plan Π.
MK/MT = cos(θ) en appellant θ le demi angle au sommet du cone (MK est parallèle à l'axe du cone).
Soit H la projection de M sur D. MK/MH = sin(α) en appellant α l'angle des plans (P) et Π.
Donc MT/MH = sin(α)/cos(θ), et puisque MT = MF et que α et θ ne dépendent pas du point M :

MF/MH = sin(α)/cos(θ) = e = constante

Le lieu des points dont le rapport des distances à un point donné F et une droite donnée (D) est constant est une conique. (D) s'appelle la directrice associée au foyer F.

Si e = 1 c'est une parabole (on n'utilise qu'une des deux sphères de Dandelin, la seule dans le cas de la parabole).
Si e < 1 c'est une ellipse (et même e = 0 pour un cercle).
Si e > 1 c'est une hyperbole.

Excentricité

La valeur e ainsi définie est l'excentricité de la conique.

Reprenons la définition de la conique par un cercle directeur.
La tangente en M au cercle directeur coupe la médiatrice de MF' en K.
KM = KF', K est donc sur l'axe radical du cercle directeur et du cercle-point F'.
Donc sur une droite fixe (D).
Soit H la projection de P sur cet axe et I l'intersection de MF' et PH.
KF' et KM étant tangentes au cercle de centre P passant par M et F, MF' est la polaire de K par rapport à ce cercle.
Donc la polaire de I passe par K et est perpendiculaire à PI, c'est donc la droite (D).
Soit PI.PH = PM² = PF'².
Comme PI/FF' = PM/MF et FF' = 2c, FM = 2a : PF'/PH = FF'/MF = c/a.
Le rapport des distances de P à F et (D) étant constant, (D) est la directrice.

L'excentricité e = PF'/PH = c/a

Position de la directrice

Soit N l'intersection de l'axe FF' et de la directrice.
N ayant même puissance par rapport au cercle directeur de rayon 2a et au cercle-point F', NF² - 4a² = NF'² soit (NF+NF')(NF-NF') = 4a² ou encore ON.OF' = a² ce qui exprime que F' et N sont conjugués par rapport au cercle de centre O de rayon a.

La directrice associée au foyer F' est la polaire de F' par rapport au cercle principal

Comme OF' = c, on en déduit |NF'| = |c² - a²|/c soit NF' = b²/c

Coniques comme lieux géométriques

Outre la définition même (lieu des points dont la somme/différence des distances aux foyers est constante), la construction par le cercle directeur donne :
Lieu des centres des cercles passant par un point fixe F et tangents à un cercle fixe (le cercle directeur). Ces cercles sont intérieurs au cercle directeur (ellipse) si F aussi, extérieurs (hyperbole) si F aussi.
Si on augmente/diminue d'une même quantité le rayon du cercle directeur et du cercle-point F, on obtient :
Lieu des centres des cercles tangents à deux cercles donnés.
On obtient en fait deux coniques selon que les cercles donnés sont tangents tous deux intérieurement ou extérieurement, ou bien l'un tangent intérieurement et l'autre extérieurement.

   dans le fichier Géogebra les cercles sont modifiables par les points bleu (centre et un point)
   le point cyan M est le "point directeur" de la construction (sur le "grand" cercle directeur)

On notera que la parabole peut être considérée comme lieu des centres des cercles tangents à une droite fixe (directrice), et passant par un point fixe (foyer).
ou de même tangents à un cercle et une droite fixes (dans ce cas deux paraboles).

On rappelle aussi la construction par directrice : lieu des points dont le rapport des distances à un point fixe F et une droite fixe est constant MF/MH = e.

Tangentes

Reprenons la construction par foyer et cercle directeur.
Soient deux points [voisins] de la conique P et P'.
Ils sont les centres de cercles passant par F et tangents au cercle directeur en M et M'.
La droite PP' est perpendiculaire à l'axe radical de ces deux cercles.
Le point d'intersection I des tangentes en M et M' aux cercles (donc au cercle directeur) ayant même puissance (MI = M'I) est sur cet axe radical.
Quand P → P', M' → M et I → M. L'axe radical tend vers la droite FM.
La tangente est donc la perpendiculaire en P à FM, c'est à dire la médiatrice de FM qui a servi à construire le point P.

On en déduit immédiatement :
La tangente est la bisectrice de l'angle MPF. Bisectrice intérieure des rayons vecteurs dans le cas de l'hyperbole, bisectrice extérieure dans le cas de l'ellipse.

Ceci peut aussi s'exprimer comme :
- Le symétrique M d'un foyer par rapport à une tangente est sur le cercle directeur.
- La projection Q d'un foyer sur une tangente est sur le cercle principal.

Le cas de la parabole peut être considéré comme "cercle directeur de rayon infini = directrice".

Le produit des distances des foyers à une tangente est constant et égal à b² :
Soit N le symétrique de Q', FN est parallèle et égal à F'Q' et donc F'Q'.FQ = FN.FQ est la puissance de F par rapport au cercle principal soit |F'Q'.FQ| = |c² - a²| = b²

Cherchons maintenant les propriétés des tangentes à une conique définie par foyer + directrice.

Soient deux points P et P' [voisins] de la conique. PF/PH = P'F/P'H' = e, soit PF/P'F = PH/P'H'
Soit I l'intersection de PP' avec la directrice.
PH/P'H' = IP/IP' = PF/P'F.
FI est donc la bisectrice (extérieure) de l'angle PFP'.
La bisectrice intérieure FJ lui est perpendiculaire.
Quand P' → P, J → P et PP' tend vers la tangente PT
FJ tend vers FP et donc

PFT est un angle droit

Dans l'applet, le curseur e définit l'excentricité (ou taper la valeur dans la barre de saisie entre 0 et 5
Les points P et P' de la conique sont draggables

Normale

La normale étant perpendiculaire à la tangente, c'est l'autre bisectrice des rayons vecteurs.
Les intersections des tangentes et normales avec l'axe focal forment donc une division harmonique avec les foyers.

Avec la définition par foyer et directrice, on obtient une propriété intéressante :
Par construction de la tangente PT (FT_|_FP), HPFT sont cocycliques sur le cercle de diamètre PT.
Ce cercle est donc tangent à la normale PN et l'angle FHP = FPN.
Comme l'angle HPF = PFN, les triangles HPF et PFN sont semblables et

 FN/FP = PF/PH = e 

Soient K et Q les pieds des hauteurs homologues de ces triangles.
PK /HQ = PF/PH = e, HQ = b²/c et e = c/a donnent :

 PK = b²/a = p  le paramètre de la conique.

Rayon de courbure

Considérons deux points [voisins] P et P' de la conique. Les normales en P et P' se coupent en C.
On peut écrire les relations de Chasles entre les angles des droites PF1, PF2, P'F1, P'F2, CP et CP' :
(FP,FP') + (FP',CP') + (CP',CP) = (FP,CP) et
(F'P,F'P') + (F'P',CP') + (CP',CP) = (F'P,CP), et en ajoutant membre à membre :
(FP,FP') + (F'P,F'P') + (FP',CP') + (F'P',CP') + 2(CP',CP) = (FP,CP) + (F'P,CP)
Comme les normales sont bisectrices des rayons vecteurs : (FP',CP') + (F'P',CP') = 0 et (FP,CP) + (F'P,CP) = 0
Il reste (FP,FP') + (F'P,F'P') = 2(CP,CP')
Soit, en appelant θ = (FP,FP'), θ' = (F'P,F'P') et φ = (CP,CP') :

 θ + θ' = 2φ [1] 

Dans l'applet Geogebra les points cyan permettent de déplacer P et P'.
Le cercle directeur de centre F est en pointillé,
Le cercle magenta est le cercle de courbure (échoue aux sommets focaux de la conique)

Considérons les cercles circonscrits à FPP', F'PP' de rayon r et r', et circonscrit à CPP' de rayon R
PP' = 2r.sin(θ) = 2r'.sin(θ') = 2R.sin(φ)
[1] donne : sin(2φ) = sin(θ + θ') = sin(θ)cos(θ') + sin(θ')cos(θ) = 2sin(φ)cos(φ)
soit : (2PP'/2R)cos(φ) = (PP'/2r)cos(θ) + (PP'/2r')cos(θ'), ou encore

 (2/R)cos(φ) = (1/r)cos(θ) + (1/r')cos(θ') [2] 

Quand P→P', C tend vers le centre de courbure,
les cercles r et r' deviennent les cercles tangents en P et passant par les foyers, et les angles → 0, donnant :

 2/R = 1/r + 1/r' 

Tous les cercles sont alors centrés sur la normale en P et leurs rayons sont les distances à P sur cette normale.
En appellant I et I' avec PI = 2r, PI' = 2r', les points diamétralement opposés à P, et PC = 2R, la relation précédente exprime alors que

 La division (I,I',P,C) est harmonique.  

Ce qui permet une construction du centre de courbure.
Dans le cas de l'hyperbole, noter que I et I' sont de part et d'autre de P, les rayons sont à compter algébriquement.

Coniques comme enveloppes de droites

Les propriétés précédentes des tangentes donnent de nombreuses constructions de coniques comme enveloppes de droites.
Deux exemples classique :
- Prenons un cercle de papier avec un point F. L'ensemble des plis qui amènent le bord du cercle en F dessine une ellipse.
- Etant donnés un cercle et un point F. Soit M un point courant du cercle. L'enveloppe des perpendiculaires en M à MF est une conique.

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