Coniques - suite

Intéressons nous tout d'abord à la construction de points d'une conique définie par ses foyers/directrices/cercles directeurs.

Points sur un rayon vecteur

Avec le cercle directeur, on applique la définition.
Avec une directrice, il faut connaître l'excentricité.
Une perpendiculaire en F à (d) coupe la directrice en T.
Reporter TA = TF sur cette directrice.
Diviser le segment AF dans le rapport e : MF/MA = M'F/M'A = e
Les droites TM et TM' coupe (d) en P et P' cherchés.
(Ce sont le lieux des points dont le rapport des distances à TF et (D) est e)
Ce sont même les tangentes à la coniques en P et P'.

Dans l'applet Geogebra e définit l'excentricité (ou en tapant la valeur e= dans la ligne de commandes, entre 0 et 5)
Le point bleu (d) définit le rayon vecteur (d)
Si (d) est l'axe focal, T est à l'infini et la construction disparaît.

Points sur une perpendiculaire à l'axe

La conique étant définie par foyer, directrice et excentricité, sinon voir "droite quelconque".
La distance de la directrice à la droite étant h, la distance des points cherchés au foyer est e.h.
Ils sont donc sur un cercle de centre F de rayon e.h.
Les points cherchés sont alors l'intersection de la droite avec ce cercle.
la simplicité de cette construction ne nécessite pas de figure, na.

Points sur une parallèle à l'axe

La conique étant définie par foyer, directrice et excentricité, sinon voir "droite quelconque".
Soit H l'intersection avec la directrice.
Il faut construire les points dont le rapport des distances à H et F est PF/PH = e.
Le lieu de ces points est un cercle de diametre IJ, I et J divisant le segment FH dans le rapport IF/IH = JF/JH = e.
Les points cherchés sont alors l'intersection de la droite avec ce cercle.
Si e = 1, J est à l'infini et ce cercle est la médiatrice de FH : on retrouve la construction de la parabole.

Nota : Le cercle de diamètre IJ est tangent à la conique en P et P'.
Construisons la tangente PT par FT _|_ FP.
Tout cercle passant par F et H est perpendiculaire au cercle de diamètre IJ, puisque F et H sont conjugués par rapport à I,J.
En particulier le cercle de diamètre PT, circonscrit au quadrilatère THPF.
Donc PT est perpendiculaire à Pm.
Une fois le cercle (m) construit il suffit donc de tracer la perpendiculaire à Pm pour avoir la tangente

Intersection avec une droite quelconque

Avec la définition foyer - cercle directeur, ceci équivaut à chercher les cercles centrés sur (D), passant par F et tangents au cercle directeur (C).
Les cercle centrés sur (D) et passant par F sont les cercles passant par F et le symétrique H de F par rapport à (D).
Le problème revient donc à chercher les cercles tangents à (C) et passant par F et H
→ Problème d'Apollonius, dans le cas Cercle-Point-Point.

Tracer un cercle quelconque centré en I sur (D), passant par F et coupant le cercle directeur en X et X'.
La perpendiculaire en F à (D) (= la droite FH) coupe la droite XX' en M.
Construire les tangentes MT et MT' de M au cercle directeur.
Les droites F'T et F'T' coupent (D) en P et P' qui sont les points cherchés.

La conique peut être changée en déplaçant F.
La droite (D) est déplaçable par ses points bleus
Choisir I (point vert) pour que le cercle (I,F) coupe le cercle directeur.

Tangentes issues d'un point donné

La projection de F sur la tangente est sur le cercle principal, donc :
Construire le cercle principal s'il ne l'est déjà (homothétique du cercle directeur depuis F dans le rapport 1/2).
Le cercle de diamètre PF coupe le cercle principal en H et H'.
PH est la tangente cherchée (0 1 ou 2 solutions).
Le point de contact est l'intersection de la tangente avec la droite F'M, M étant obtenu par FM = 2.FH.

On peut chercher l'ensemble des points d'où on "voit" la conique sous un angle droit. C'est à dire d'où les deux tangentes sont perpendiculaires.
C'est un cercle centré en O (dégénère en droite pour une parabole).

Soient M et N deux points du cercle directeur avec FM_|_FN
Les médiatrices de FM et FN sont donc deux tangentes perpendiculaires, se coupant en P.
Dans le triangle rectangle FPN, FP = PM = PN.
Dans le triangle rectangle F'PM, F'P² + PM² = F'M² = R², rayon du cercle directeur.

Donc  F'P² + FP² = R² = cte. 

Le lieu de P est donc un cercle centré en O (lieu connu).
Une démonstration classique que le lieu des points dont la somme des carrés des distances à F et F' est constante est un cercle :
FP ^>2 = (FO ^> + OP ^>)² = FO ^>2 + OP ^>2 + 2.FO ^>.OP ^> et de même :
F'P ^>2 = (F'O ^> + OP ^>)² = F'O ^>2 + OP ^>2 + 2.F'O ^>.OP ^> en ajoutant membre à membre il vient (F'O ^> = - FO ^>) :
FP² + F'P² = 2.FO² + 2.OP², et donc OP est constant.
La construction de ce cercle en découle :
Soit X le point d'intersection de la médiatrice de FF' avec le cercle de centre F', de rayon R/√2
Ce point est sur le cercle cherché.
On notera que si l'excentricité e > √2, aucun point ne convient. Ce qui semble évident compte tenu de l'angle des asymptotes dans ce cas.

Centre de courbure

La tangente et la normale en P coupent l'axe focal en U et V. Comme ce sont les bisectrices des rayons vecteurs, la division (F,F',U,V) est harmonique.
Elle se projette sur FP parallèlement à la tangente en (F,F",P,Q) qui est donc harmonique.
Celle ci se projette à son tour sur la normale, perpendiculairement à FP, en (I,J,P,C), donc harmonique.
F" est le symétrique de F' par rapport à la normale, et J est le point diamètralement opposé à P sur le cercle tangent à la conique en P et passant par F'.
I est le point diamètralement opposé à P sur le cercle tangent à la conique en P et passant par F.
D'après la propriété caractéristique du centre de courbure, C est donc ce centre de courbure.

Il suffit donc pour construire le centre de courbure de tracer l'intersection V de la normale avec l'axe. La perpendiculaire à la normale en V coupe le rayon vecteur en Q, la perpendiculaire au rayon vecteur en Q coupe la normale en C.

La construction ne marche pas aux sommets de la conique.
Mais dans ce cas, V,Q et C sont confondus avec le conjugué harmonique du sommet par rapport aux foyers.
Pour la parabole, le deuxième foyer étant rejeté à l'infini, la construction est la même avec une démonstration un peu différente...

Nota : Le cercle osculateur coupant la conique en 4 points, 3 sont en P et il recoupe donc la conique en un seul autre point. Il traverse donc la conique en P.
Aux sommets, les 4 points sont confondus et c'est le seul cas où le cercle osculateur est entièrement du même côté de la conique.

construire une conique étant donné etc...