Coniques - suite

On s'intéresse ici à la construction d'une conique étant donné un foyer et etc...

2 foyers et...

Si les deux foyers sont donnés, la conique est facilement déterminée :
- Si on donne un point M, on en déduit le cercle directeur de rayon 2a = |MF ± MF'| (Il y a donc deux solutions)
- Si on donne une tangente, le symétrique d'un foyer est sur le cercle directeur.

Dans les deux cas on connait un foyer et le cercle directeur associé, la conique est parfaitement déterminée.

Un foyer et 3 points

Le cercle centré sur un point de la conique et passant par le foyer est tangent au cercle directeur.
Tracer les trois cercles de centre A, B, C et passant par F (en vert).
Le cercle directeur est donc un cercle tangent à ces trois cercles, problème classique (Apollonius)
Ici, les trois cercles ayant un point commun, c'est un cas particulier et une méthode directe donne les cercles solutions :
Les inverses des trois cercles dans une inversion de pôle F sont trois droites (en vert).
Les inverses des cercles directeurs solution (bleu) sont donc les cercles inscrits et exinscrits (magenta) au triangle formé par ces trois droites.
Il y a généralement 4 solutions.
Les constructions des inverses et des cercles inscrits/exinscrits étant classiques ne sont pas détaillées ici.

Le point cyan définit la puissance d'inversion (indifférente). Joue le role d'une loupe pour la construction des inverses.
Lorsque les hyperboles dégénèrent en paires de droites, le tracé devient cahotique.
De même quand le cercle directeur devient une droite tangente commune aux trois cercles (A) (B) et (C), la conique est une parabole et le tracé devient aussi cahotique (quand le cercle directeur a un rayon trop grand pour la précision des tracés).

Un foyer, points et tangentes

Le symétrique du foyer par rapport à une tangente est sur le cercle directeur.
On est ainsi ramené à un problème d'Apollonius dans les cas :
- Cercle-Cercle-Point (2 points et une tangente donnés)
- Cercle-Point-Point (1 point et 2 tangentes donnés), et même le trivial
- Point-Point-Point (3 tangentes données) : Le cercle directeur est le cercle circonscrit aux symétriques du foyer par rapport aux 3 tangentes.

A titre d'exemple :

Foyer, sommet et un point

(Le sommet donné étant sur l'axe focal)
On a immédiatement l'axe focal FS. La tangente au sommet étant perpendiculaire, le symétrique S' du foyer par rapport au sommet est sur le cercle directeur.
On est donc amené à trouver un cercle centré sur FS, en F', passant par le point S' et tangent au cercle de centre A passant par F.
Un cercle de même centre F' et de rayon augmenté/diminué de AF passe par le point S", décalé de S' de AF, et par le point A.
Ce cercle est donc un cercle centré sur FS et sur la médiatrice de AS".
Il y a deux solutions (selon la direction de S'S").

Sommet non sur l'axe

Construire une ellipse, étant donnés un foyer F, un point A et un sommet du petit axe B.
La distance FB est égale au 1/2 grand axe a : a² = b² + c²
Le rayon du cercle directeur (double du cercle principal) est donc le diamètre du cercle de centre B passant par F.
Le cercle directeur est donc centré sur ce cercle.
Il faut ainsi trouver un cercle centré sur le cercle (B,F), de rayon 2.BF et tangent au cercle (A,F).
Son centre est donc sur le cercle de centre A de rayon AF ± 2.BF
Le cercle de rayon AF + 2.BF ne peut pas couper le cercle de centre B de rayon BF (au mieux il est tangent si A,B F alignés).
Seul le cercle de rayon |AF - 2.BF| est à prendre en compte, donnant au plus deux solutions.

Une directrice

Par exemple, déterminer une conique étant donné une directrice et 3 points.
Soient H,K,M les projections de A,B C sur la directrice. F le foyer inconnu.
FA/AH = FB/BK = e, donc FA/FB = AH/BK.
F est donc sur le cercle, lieu des points FA/FB = constante
Note : Si FA/FB = 1, ce cercle est en fait la médiatrice de AB ! L'applet ne sait pas distinguer ce cas

Une construction possible :
AB coupe la directrice en I.
Soit A' le symétrique de A. A'B coupe la directrice en J, les points I et J sont sur le cercle cherché.
La médiatrice de IJ coupe la droite AB en le centre du cercle.
De même avec B et C, ce qui donne deux possibilités pour F = intersection de ces cercles.
Nota : le cercle défini sur A et C passe par les points d'intersection des deux autres. Le démontrer...