Nombres congruents

Trouver a entier, x,y,z rationnels tels que :
y² - a = x²
y² + a = z²
Le nombre a est alors dit "congruent".

x,y,z entiers

Par addition membre à membre on obtient 2y² = x² + z²
x et z sont ainsi de même parité et on peut poser z + x = 2u, z - x = 2v. C'est à dire x = u - v et z = u + v.
2y² = (u + v)² + (u - v)² = 2(u² + v²) et donc y² = u² + v².
u,v,y forment donc un triplet de Pythagore, donné par les formules :
u = 2mpq, v = m(p² - q²), y = m(p² + q²) (ou en échangeant u et v).
Comme 2a = z² - x² = (z + x)(z - x) = 4uv : a = 4m²pq(p² - q²)

On obtient alors toutes les solutions en balayant m,p,q dans les formules :

a = 4m²pq(p² - q²) x = m|2pq - (p² - q²)| y = m(p² + q²) z = m(2pq + (p² - q²))

x,y,z rationnels

Ce problème consiste à trouver tous les nombres entiers a = 4m²pq(p² - q²)/k²
Si a est un nombre congruent, k²a aussi et on ne s'intéresse en fait qu'à ceux "sans facteur carré" a = pq(p² - q²)/k²
Un nombre congruent est aussi l'aire d'un triangle rectangle à côtés rationnels 2pq/k, (p² - q²)/k, (p² + q²)/k

Il n'est pas évident qu'un nombre, même petit, ne puisse pas être de cette forme, avec k,p et q peut être très grands.

a	x	y	z
5	40/6	9/6	41/6
6	4	3	5
7	288/60	175/60	337/60

(plus de résultats si vous validez Javascript).

En étendant la recherche avec des valeurs de p et q bien plus grandes, on trouve que les seuls nombres congruents <100 sans facteurs carrés sont :
5, 6, 7, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 46, 47, 53, 55, 61, 62, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 85, 86, 87, 93, 94, 95.
Par exemple le nombre 13 est congruent, aire d'un triangle rectangle de côtés (il n'y a pas plus simple) :
23400/9690 = 780/323, 104329/9690 = 323/30, 106921/9690, obtenu pour p = 325 q = 36 .

La détermination à priori des nombres congruents ou non est un problème difficile.
Citons en vrac quelques critères :

• un nombre premier de la forme 8k + 3 n'est pas congruent
• un nombre 2p avec p = 8k + 5 premier n'est pas congruent
• un nombre pq avec p et q premiers de la forme 8k + 3 n'est pas congruent
• un nombre 2pq avec p et q premiers de la forme 8k + 5 n'est pas congruent

Enfin la méthode moderne considère le problème comme la recherche des points à coordonnées entières sur la courbe elliptique Y² = X(X² - a²)

Une table de nombres congruents avec les valeurs correspondantes peut être trouvée ici (site Japonais).
Noter les "monstres" : a = 53, p = 1873180325, q = 1158313156 où p et q sont disproportionnés par rapport à a alors que le suivant a = 55, p = 125, q = 44 seulement !