Trigonométrie - formulaire

cos²(a)+sin²(a) = 1
cos²(a) = 1/(1+tg²(a)) = cotg²(a)/(1+cotg²(a))
sin²(a) = tg²(a)/(1+tg²(a)) = 1/(1+cotg²(a))

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)
tg(a+b) = (tg(a) + tg(b))/(1 - tg(a)tg(b))
Et aussi : tg((a+b)/2) = (sin(a) + sin(b))/(cos(a) + cos(b)) = - (cos(a) - cos(b))/(sin(a) - sin(b))

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = 2cos²(a) - 1 = 1 - 2sin²(a) = (1-tg²(a))/(1+tg²(a))
sin(2a) = 2sin(a)cos(a) = 2tg(a)/(1+tg²(a))
tg(2a) = 2tg(a)/(1 - tg²(a))

cos(a) + cos(b) = 2 cos((a+b)/2) cos((a-b)/2)
cos(a) - cos(b) = -2 sin((a+b)/2) sin((a-b)/2)
sin(a) + sin(b) = 2 sin((a+b)/2) cos((a-b)/2)
sin(a) - sin(b) = 2 cos((a+b)/2) sin((a-b)/2)

cos(a) cos(b) = (cos(a-b) + cos(a+b))/2
sin(a) sin(b) = (cos(a-b) - cos(a+b))/2
sin(a) cos(b) = (sin(a-b) + sin(a+b))/2

Formule de De Moivre
(cos(a) + i sin(a))n = cos(na) + i sin(na)
cette formule permet de calculer cos(na) et sin(na) en fonction de cos(a) et sin(a)
Elle exprime simplement que cos(na) + i sin(na) = ei.n.a = (ei.a)n = (cos(a) + i sin(a))n
cos(3a) = cos³(a) - 3cos(a)sin²(a) = 4cos³(a) - 3cos(a)
sin(3a) = 3sin(a)cos²(a) - sin³(a) = 3sin(a) - 4sin³(a)
cos(5a) = 5cos(a) - 20cos3(a) + 16 cos5(a)
sin(5a) = 5sin(a) - 20sin3(a) + 16 sin5(a)

Et aussi en sens inverse cos(t) = (ei.t + ei.t)/2 permet de même de calculer cosn(t) et resp. sinn(t) à partir de sin(t) = (ei.t - ei.t)/2
cos²(t) = (1 + cos(2t))/2, cos³(t) = (3cos(t) + cos(3t))/4, ...
sin²(t) = (1 - cos(2t))/2, sin³(t) = (3sin(t) - sin(3t))/4, ...

Généralisation de tan(a+b) à n termes tan(∑θi)
En posant xi = tan(θi) et en appellant Pk le polynome symétrique en xi de degré k :
(P0 = 1, P1 = x0 + x1, P2 = x0x1 + x0x2 + x1x2 etc... )

 tan(∑θi) = (P1 - P3 + P5 +...) / (P0 - P2 + P4 +...) 

Angles en progression arithmétique :
sin(t) + sin(t+α) + sin(t+2α) + ... sin(t+nα) = sin((n+1)α/2).sin(t + nα/2) / sin(α/2) 
cos(t) + cos(t+α) + cos(t+2α) + ... cos(t+nα) = sin((n+1)α/2).cos(t + nα/2) / sin(α/2) 
(en passant par ei(t+kα) et en calculant la somme de la progression géométrique de raison e)

Produits en progression géométriques :
j=0k-1 cos(2jx) = sin(2kx) / (2ksin(x))
Par exemple cos(20°).cos(40°).cos(80°) = 1/8 et

Et aussi une formule générale pour un produit de sin :
Πk≤n/2, PGCD(k,n) = 1 (2 sin(kπ/n) = 1
et sin(20°).sin(40°).sin(80°) = √3/8

 

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