Automodulaires

Sur une idée de Eric Angelini sur fr.sci.maths, voir son site

Nous appellerons ainsi des nombres N, qui découpés en deux tranches A et B sont tels que le reste de la division de N par B est A.
Par exemple 23 = 7×3 + 2
On s'intéresse essentiellement aux cas où le reste est la tranche de gauche ("automodulaires à gauche"), et le diviseur la tranche de droite.
Mais on peut considérer aussi l'inverse, ainsi 21 est automodulaire "à droite" :
21 = 10×2 + 1
Nous refuserons de considérer des tranches vides, excluant de l'automodularité les nombres de 1 chiffre, ou avec A=B.
De même un nombre (en particulier B) n'est pas autorisé à commencer par un 0.

Plus petit nombre automodulaire (à gauche) de 3 chiffres différents ?
Solution

Nous appellerons nombres panmodulaires, des nombres automodulaires pour toutes leurs découpes possibles.
N = AB ≡ min(A,B) modulo max(A,B) ∀ (A,B)
Ainsi les nombres de 2 chiffres automodulaires à droite ou à gauche sont-ils trivialement panmodulaires. (puisqu'il n'y a qu'une seule façon de les découper).
Le plus petit nombre panmodulaire non trivial est ainsi 111, il est automodulaire à droite et à gauche.
111 = 10×11 + 1 (à droite)
111 = 10×11 + 1 (à gauche)
Et on a ainsi toutes les façons de découper 111 en deux tranches (non vides).

Plus petit nombre panmodulaire non trivial formé de chiffres tous différents ?
Solution

La recherche des nombres panmodulaires terminés par au moins la moitié de chiffres différents reste ouverte...
Détails

 

Accueil Arithmétiques Géométrique Divers Thèmes Scripts Jeux Exercices Mail English version Sujet précédent Sujet suivant