Nous appellerons ainsi des nombres N, qui découpés en deux tranches A et B sont
tels que le reste de la division de N par B est A.
Par exemple 23 = 7×3 + 2
On s'intéresse essentiellement aux cas où le reste est la tranche de gauche ("automodulaires à gauche"),
et le diviseur la tranche de droite.
Mais on peut considérer aussi l'inverse, ainsi 21 est automodulaire "à droite" :
21 = 10×2 + 1
Nous refuserons de considérer des tranches vides, excluant de l'automodularité les nombres de 1 chiffre, ou avec A=B.
De même un nombre (en particulier B) n'est pas autorisé à commencer par un 0.
Plus petit nombre automodulaire (à gauche) de 3 chiffres différents ?
Solution
Nous appellerons nombres panmodulaires, des nombres automodulaires pour toutes leurs découpes possibles.
N = AB ≡ min(A,B) modulo max(A,B) ∀ (A,B)
Ainsi les nombres de 2 chiffres automodulaires à droite ou à gauche sont-ils trivialement panmodulaires.
(puisqu'il n'y a qu'une seule façon de les découper).
Le plus petit nombre panmodulaire non trivial est ainsi 111, il est automodulaire à droite et à gauche.
111 = 10×11 + 1 (à droite)
111 = 10×11 + 1 (à gauche)
Et on a ainsi toutes les façons de découper 111 en deux tranches (non vides).
Plus petit nombre panmodulaire non trivial formé de chiffres tous différents ?
Solution
La recherche des nombres panmodulaires terminés par au moins la moitié de chiffres différents reste ouverte...
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