Nous appellerons ainsi des nombres N, qui découpés en deux tranches A et B (N = AB) sont
tels que le reste de la division de N par B est A.
Par exemple 23 = 7×3 + 2
On s'intéresse essentiellement aux cas où le reste est la tranche de gauche ("automodulaires à gauche"),
et le diviseur la tranche de droite.
Mais on peut considérer aussi l'inverse, ainsi 21 est automodulaire "à droite" :
21 = 10×2 + 1
Nous refuserons de considérer des tranches vides, excluant de l'automodularité les nombres de 1 chiffre, ou avec A=B.
De même un nombre (en particulier B) n'est pas autorisé à commencer par un 0.
Une remarque de Zwim sur sci.maths est que les nombres automodulaires à droite sont tout de suite peu intéressants
car si A > B tout nombre N = AB est tel que N ≡ B modulo A !
Tous les nombres d'un nombre impair de chiffres sont automodulaires à droite.
Les seuls nombres automodulaires à droite "propres" sont ainsi les nombres d'un nombre pair de chiffres,
avec A > B, A et B de même longueur.
Par exemple 2111 = 10×21 + 11
En se limitant aux nombres automodulaires à gauche, on peut écrire, si n est le nombre de chiffres de B :
N = 10nA + B = B×Q + A et
donc (10n - 1)A = B(Q -1)
Soit p le PGCD de B et de 10n - 1.
Si p = 1, B divisant le produit du premier membre et étant premier avec 10n - 1 divise A
Comme A < B, c'est impossible
p = PGCD(B, 10n - 1) ≠ 1
Alors B/p est premier avec (10n - 1)/p et A est un multiple de B/p
Ceci permet de générer des nombres automodulaires (à gauche) en un clin d'œil
Etant donné une valeur B0 de B, le programme suivant donne la liste des nombres
automodulaires ayant le plus petit B ≥ B0
Le balayage systématique de B s'arrête très vite : au plus tard au prochain multiple de 3 !
(10n-1 multiple de 3)
Malheureusement cette méthode ne permet pas d'obtenir facilement les nombres automodulaires
dans l'ordre des N croissants.
Un programme par force brute balayant les valeurs de N s'essouffle assez rapidement.
On obtient toutefois la liste des nombres automodulaires :
| 13, 19, 23, 26, 29, 39, 46, 49, 59, 69, 79, 89, 111, 133, 199, 211, 218, 222, 233, 266, 299, 311, 327, 333, 399, 411, 412, 418, 422, 433, 436, 444, 466, 499, 511, 515, 533, 545, 555, 599, 611, 618, 622, 627, 633, 654, 666, 699, 711, 721, 733, 763, 777, 799, 811, 812, 818, 822, 824, 833, 836, 844, 866, 872, 888, 899, 911, 927, 933, 981, 999, 1011, 1015, 1018, 1022, 1030, 1033, 1045, 1055, ... |
Si on poursuit au delà, on observe une proportion importante de B formés du même chiffre répété,
c'est à dire multiple d'un "repunit" (10n - 1)/9
En effet, alors B/p est < 10 et le choix de A < B multiple de B/p est plus aisé,
conduisant à de nombreuses valeurs faibles de A.
La restriction à des nombres B formés de chiffres pas tous identiques donne les nombres "bien automodulaires".
| 13, 19, 23, 26, 29, 39, 46, 49, 59, 69, 79, 89, 218, 327, 412, 418, 436, 515, 545, 618, 627, 654, 721, 763, 812, 818, 824, 836, 872, 927, 981, 1015, 1018, 1030, 1045, 1090, 1218, 1227, 1236, 1254, 1339, 1418, 1421, 1442, 1463, 1527, 1545, 1618, 1624, 1636, 1648, 1672, 1751, 1827, 1854, 1881, 1957, 2030, 2036, 2045, 2060, 2090, 2127, 2163, 2369, 2427, 2436, 2454, 2472, 2545, 2575, 2639, 2678, 2781, 2836, 2842, 2863, 2884, 2987, 3045, 3054, 3090, 3193, 3236, 3248, 3272, 3296, 3451, 3545, 3563, 3654, 3681, 3857, 4045, 4060, 4072, 4090, 4108, 4148, 4254, 4263, 4581, 4669, 4854, 4872, 4963, 5075, 5090, 5135, 5185, 5278, 5481, 5663, 5672, 5684, 5887, 6090, 6162, 6293, 6381, 6472, 6496, 7090, 7189, 7259, 7281, 8090, 8108, 8148, 8216, 8296, 9243, 10135, 10185, 10270, 10370, 11297, 11407, ... |
Nous appellerons nombres panmodulaires, des nombres automodulaires pour toutes leurs découpes possibles.
N = AB ≡ min(A,B) modulo max(A,B) ∀ (A,B)
Ainsi les nombres de 2 chiffres automodulaires à droite ou à gauche sont-ils trivialement panmodulaires.
(puisqu'il n'y a qu'une seule façon de les découper).
Le plus petit nombre panmodulaire non trivial est ainsi 111, il est automodulaire à droite et à gauche.
111 = 10×11 + 1 (à droite, trivialement)
111 = 10×11 + 1 (à gauche)
Et on a ainsi toutes les façons de découper 111 en deux tranches (non vides).
Les nombres panmodulaires de 3 chiffres sont simplement les nombres automodulaires (à gauche), puisque l'autre découpe est trivialement automodulaire à droite.
Mehdi Tibouchi a obtenu (par force brute, en Haskell) une liste de nombres panmodulaires.
Malheureusement sa première liste inclut des tranches de longueur nulle, ajoutant artificiellement
les nombres de 1 chiffre ainsi que les nombres comme 22, 33, ...
que nous avons supprimés ici car ne satisfaisant pas au critère :
"toutes les découpes de N" (la découpe A=2, B=2 ne marche pas)
| 13, 19, 21, 23, 26, 29, 31, 32, 39, 41, 42, 43, 46, 49, 51, 52, 53, 54, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 69, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 79, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 111, 133, 199, 211, 218, 222, 233, 266, 299, 311, 327, 333, 399, 411, 412, 418, 422, 433, 436, 444, 466, 499, 511, 515, 533, 545, 555, 599, 611, 618, 622, 627, 633, 654, 666, 699, 711, 721, 733, 763, 777, 799, 811, 812, 818, 822, 824, 833, 836, 844, 866, 872, 888, 899, 911, 927, 933, 981, 999, 1333, 1999, 2111, 2333, 2666, 2999, 3111, 3999, 4111, 4222, 4333, 4666, 4999, 5111, 5135, 5333, 5999, 6111, 6222, 6333, 6999, 7111, 7259, 7333, 7999, 8111, 8148, 8216, 8222, 8333, 8444, 8666, 8999, 9111, 9243, 9333, 11111, 13333, 19999, 21111, 22222, 23333, 26666, 29999, 31111, 33333, 39999, 41111, 42222, 43333, 44444, 46666, 49999, 51111, 53333, 55555, 59999, 61111, 62222, 63333, 66666, 69999, 71111, 73333, 77777, 79999, 81111, 82222, 83333, 84444, 86666, 88888, 89999, 91111, 93333, 99999, ... |
Conjecture : les nombres panmodulaires > 10000 sont de la forme abbbb...b
(avec a = b seulement si le nombre de chiffres de N est impair)
Le plus grand nombre panmodulaire "intéressant" est ainsi 9243.
Pour aller au delà de la liste précédente, nous allons introduire les
| p > 10n-2 |
On cherche donc un diviseur p de 10n-1 avec p > 10n-2
Puis B multiple de p avec PGCD(B, 10n - 1) = p et 10n-1 ≤ B ≤ 10n - 1
On en déduit A multiple de B/p et < 10
On obtient ainsi en un clin dœil les nombres automodulaires réduits, partiellement dans le désordre (seulement triés par longueur croissante). Un tri final de la liste est alors effectué.
| 13, 19, 23, 26, 29, 39, 46, 49, 59, 69, 79, 89, 111, 133, 199, 211, 218, 222, 233, 266, 299, 311, 327, 333, 399, 411, 412, 418, 422, 433, 436, 444, 466, 499, 511, 515, 533, 545, 555, 599, 611, 618, 622, 627, 633, 654, 666, 699, 711, 721, 733, 763, 777, 799, 811, 812, 818, 822, 824, 833, 836, 844, 866, 872, 888, 899, 911, 927, 933, 981, 999, 1111, 1333, 1999, 2111, 2222, 2333, 2666, 2999, 3111, 3333, 3999, 4108, 4111, 4148, 4222, 4333, 4444, 4666, 4999, 5111, 5135, 5185, 5333, 5555, 5999, 6111, 6162, 6222, 6333, 6666, 6999, 7111, 7189, 7259, 7333, 7777, 7999, 8108, 8111, 8148, 8216, 8222, 8296, 8333, 8444, 8666, 8888, 8999, 9111, 9243, 9333, 9999, 11111, 13333, 19999, 21111, 21818, 22222, 23333, 26666, 29999, 31111, 32727, 33333, 39999, 41111, 41212, 41818, 42222, 43333, 43636, 44444, 46666, 49999, 51111, 51515, 53333, 54545, 55555, 59999, 61111, 61818, 62222, 62727, 63333, 65454, 66666, 69999, 71111, 72121, 73333, 76363, 77777, 79999, 81111, 81212, 81818, 82222, 82424, 83333, 83636, 84444, 86666, 87272, 88888, 89999, 91111, 92727, 93333, 98181, 99999, ... |
Les nombres panmodulaires sont un sous ensemble de cette liste (marqués en gras),
à laquelle il faut rajouter les nombres automodulaires à droite de deux chiffres.
(tous les nombres ab avec a > b)
En la prolongeant au delà, on confirme la conjecture énoncée (tous les nombres panmodulaires > 10000
sont de la forme "triste" abbbb..bb)
On peut déja filter la liste pour n'obtenir que des B formés de chiffres pas tous identiques
| 13, 19, 23, 26, 29, 39, 46, 49, 59, 69, 79, 89, 218, 327, 412, 418, 436, 515, 545, 618, 627, 654, 721, 763, 812, 818, 824, 836, 872, 927, 981, 4108, 4148, 5135, 5185, 6162, 7189, 7259, 8108, 8148, 8216, 8296, 9243, 21818, 32727, 41212, 41818, 43636, 51515, 54545, 61818, 62727, 65454, 72121, 76363, 81212, 81818, 82424, 83636, 87272, 92727, 98181, 512195, 614634, 717073, 819512, 921951, ... |
et aucun nombre panmodulaire pas de la forme "triste" après 9243.
Avec la méthode indiquée, cette liste est obtenue jusqu'à 1016 en une fraction de seconde,
en Javascript.
Déja avec n = 15, le dernier chiffre est affiché faux dans la liste.
Par exemple avec B = 219512195121951, il met la valeur de N = 9219512195121952 dans la liste !!
Pour aller au delà de 1016 il faudrait utiliser un autre langage que Javascript,
et une bibliothèque Bignum.
Mais le mieux serait encore de démontrer la conjecture !